Question

【題目】如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，過點的拋物線與軸的另一個交點為．

（1）求拋物線的解析式和點的坐標；

（2）是直線上方拋物線上一動點，交于.設，請求出的最大值和此時點的坐標；

（3）是軸上一動點，連接，將繞點逆時針旋轉得線段，若點恰好落在拋物線上，請直接寫出此時點的坐標．

備用圖

Answer 1

【答案】（1），點的坐標為；（2）的最大值為，此時；（3）(，)或(，)

【解析】

（1）把點B(3，0)代入先求得c的值，再求得點C的坐標，利用待定系數法即可求得拋物線的解析式和點A的坐標；

（2）設點P的橫坐標為，作軸于N，交BC于M，先用m表示出，再作于E，于F，得到，即，推出，得到，利用二次函數的性質即可求解；

（3）過M，E分別作軸，軸的垂線交于H，設點M的坐標為(，)，證得，得到點E的坐標為(，)，代入即可得n的值，即可求解．

（1）∵與軸交于點，與軸交于點C，

∴，解得，

∴，

∵拋物線經過點B，C，

∴

解得，

∴拋物線解析式為；

當時，，

解得：

∴點的坐標為；

（2）設點P的橫坐標為，連接PC，PB，過P作軸于N，交BC于M，

由（1）知：直線的解析式為，

∴，

則，，

∴，

∴

，

連接AC，分別過A，P作于E，于F，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∵，

∴，

∴當時，的最大值為，此時；

（3）過M，E分別作軸，軸的垂線交于H，

∴∠H=90，∠MEH=∠OME，

根據旋轉的性質知：∠CME=90，EM=MC，

∴∠CMO+∠OME=90，∠CMO+∠MCO=90，

∴∠MEH=∠MCO，

設點M的坐標為(，)，

根據題意將繞點逆時針旋轉得線段，若點恰好落在拋物線上，

則點M在軸正半軸上，即，

在Rt△MEH和Rt△MCO中，

，

∴，

∴，，

∴點E的坐標為：(，)，

把代入E (，) 代入，

整理得：，

解得，.

∴點M的坐標為：(，)或(，).