Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB＝BC，延長AC到點D，使得CD＝CB，連接BD交⊙O于點E，過點E做BC的平行線交CD于點F．

（1）求證：AE＝DE．

（2）求證：EF為⊙O的切線；

（3）若AB＝5，BE＝3，求弦AC的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）．

【解析】

（1）欲證明AE＝DE，只要證明∠EAD＝∠D即可．

（2）欲證明EF是⊙O的切線，只要證明OE⊥EF即可．

（3）利用相似三角形的性質求出AD即可解決問題．

（1）證明：∵CD＝CB，

∴∠DBC＝∠D，

又∵∠DBC＝∠CAE，

∴∠D＝∠CAE，

∴AE＝DE．

（2）證明：∵∠ACB＝∠DBC+∠D＝2∠DBC＝2∠CAE

又∵AB＝BC，

∴∠BAC＝∠ACB

∴∠BAC＝2∠CAE，

∴∠CAE＝∠BAE

∴點E為弧BEC的中點，

連接OE，則OE⊥BC，

又∵EF∥BC，

∴OE⊥EF，

∴EF為圓O的切線．

（3）解：在△ABE和△DBA中，

∵∠BAE＝∠D，∠ABE＝∠DBA，

∴△ABE∽△DBA，

∴，

∴AB2＝BEDB，

∴，

由（1）得，，

∵，

∴，

∵CD＝CB＝AB＝5，

∴．