Question

【題目】拓展與探索：如圖，在正△ABC中，點E在AC上，點D在BC的延長線上.

(1)如圖1，AE＝EC＝CD，求證：BE＝ED；

(2)如圖2，若E為AC上異于A、C的任一點，AE＝CD，(1)中結論是否仍然成立？為什么？

(3)若E為AC延長線上一點，且AE＝CD，試探索BE與ED間的數量關系，并證明你的結論.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)成立，理由見解析；(3)BE＝ED，證明見解析.

【解析】

(1)根據等邊三角形的性質得到∠EBC＝∠ABC＝30°，根據等腰三角形的判定定理證明；

(2)過點E作EF∥BC，證明△EFB≌△DCE，根據全等三角形的性質證明；

(3)過點E作EF∥AB，證明△BCE≌△DFE，根據全等三角形的性質證明.

解：(1)∵△ABC是等邊三角形，AE＝CE，

∴BE平分∠ABC，

∴∠EBC＝∠ABC＝30°，

∵∠ACB＝60°，

∴∠ECD＝120°，

∵CE＝CD，

∴∠D＝∠CED＝30°，

∴∠EBC＝∠D＝30°，

∴BE＝ED；

(2)成立，

理由如下：過點E作EF∥BC，交AB于F，

∵△ABC是等邊三角形，

∴△AEF是等邊三角形，AF＝AE＝EF，

∴∠BFE＝∠ECD＝120°，BF＝EC，

∵AE＝CD，

∴EF＝CD，

在△EFB和△DCE中，，

∴△EFB≌△DCE(SAS)

∴BE＝ED；

(3)結論：BE＝ED.

理由如下：如圖3，過點E作EF∥AB，交CD于F，

則△CEF是等邊三角形，

∴CF＝CE＝EF，∠BCE＝∠DFE＝120°，

∵AE＝CD，

∴AE﹣CE＝CD﹣CF，即AC＝FD，

∵AC＝BC，

∴BC＝FD，

在△BCE和△DFE中，

，

∴△BCE≌△DFE(SAS)，

∴BE＝ED.