Question

【題目】正方形的邊長為3，點，分別在射線，上運動，且．連接，作所在直線于點，連接．

（1）如圖1，若點是的中點，與之間的數量關系是______；

（2）如圖2，當點在邊上且不是的中點時，（1）中的結論是否成立？若成立給出證明；若不成立，說明理由；

（3）如圖3，當點，分別在射線，上運動時，連接，過點作直線的垂線，交直線于點，連接，求線段長的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）成立，證明見解析；（3）．

【解析】

（1）如圖（見解析），連接BE，先根據正方形的性質、三角形全等的判定定理與性質得出，再根據圓周角定理得出，從而可得，然后根據角互余得出，最后根據等腰三角形的定義即可得；

（2）如圖（見解析），連接BE，先根據正方形的性質、三角形全等的判定定理與性質得出，再根據圓周角定理得出，從而可得，然后根據角互余得出，最后根據等腰三角形的定義即可得；

（3）先根據角互余得出，再根據四邊形的內角和、領補角定義得出，然后根據三角形全等的判定定理與性質得出，又根據三角形全等的判定定理與性質得出，最后根據三角形的三邊關系定理即可得．

（1），證明如下：

如圖，連接BE

在正方形中，，

∵，

∴，即

在和中，

∴

∴

∵，

∴、兩點都在以為直徑的圓上

∴

∴

∵，

∴

∴

又

∴；

（2）（1）中的結論仍然成立，證明如下：

如圖，連接

在正方形中，，

∵，

∴，即

在和中，

∴

∴

∵，

∴、兩點都在以為直徑的圓上

∴

∴

∵，

∴

∴

又

∴；

（3）如圖，連接

∵，

∴

∵

又

∴

在和中，

∴

∴

在和中，

∴

∴

由（2）知，

∴

∵

∴，

在中，由三角形的三邊關系定理得：

∴當、、三點共線時，的長最大，最大值為

即線段長的最大值是．