Question

【題目】(2016·西寧中考)如圖，D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延長線上，且∠CDA＝∠CBD.

(1)求證：CD是⊙O的切線；

(2)過點B作⊙O的切線交CD的延長線于點E，BC＝6， ，求BE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）

(1)證明：連接OD.∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠BDO.∵∠CDA＝∠CBD，∴∠CDA＝∠ODB.又∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO＋∠ODB＝90°，∴∠ADO＋∠CDA＝90°，即∠CDO＝90°，∴OD⊥CD.∵OD是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線；

(2)解：∵∠C＝∠C，∠CDA＝∠CBD，∴△CDA∽△CBD，∴＝.∵＝，BC＝6，∴CD＝4.∵CE，BE是⊙O的切線，∴BE＝DE，BE⊥BC，∴BE2＋BC2＝EC2，即BE2＋62＝(4＋BE)2，解得BE＝.

【解析】試題分析：連接OD.根據圓周角定理得到∠ADO＋∠ODB＝90°，

而∠CDA＝∠CBD，∠CBD＝∠BDO.于是∠ADO＋∠CDA＝90°，可以證明是切線.

根據已知條件得到由相似三角形的性質得到 求得 由切線的性質得到根據勾股定理列方程即可得到結論．

試題解析：(1)連接OD.

∵OB＝OD，

∴∠OBD＝∠BDO.

∵∠CDA＝∠CBD，

∴∠CDA＝∠ODB.

又∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，

∴∠ADO＋∠ODB＝90°，

∴∠ADO＋∠CDA＝90°，即∠CDO＝90°，

∴OD⊥CD.

∵OD是⊙O的半徑，

∴CD是⊙O的切線；

(2)∵∠C＝∠C，∠CDA＝∠CBD，∴△CDA∽△CBD，

BC＝6，∴CD＝4.

∵CE，BE是⊙O的切線，

∴BE＝DE，BE⊥BC，

∴BE2＋BC2＝EC2，

即BE2＋62＝(4＋BE)2，

解得BE＝.