Question

【題目】已知點I為△ABC的內心

(1) 如圖1，AI交BC于點D，若AB＝AC＝6，BC＝4，求AI的長

(2) 如圖2，過點I作直線交AB于點M，交AC于點N

① 若MN⊥AI，求證：MI2＝BM·CN

② 如圖3，AI交BC于點D．若∠BAC＝60°，AI＝4，請直接寫出的值

Answer 1

【答案】（1）AI的長是；

（2）①證明見解析；②

【解析】試題分析：(1)、根據內心的性質得出AD為線段BC的中垂線，然后根據Rt△BID的勾股定理得出答案；(2)、首先得出△AMI和△ANI全等，從而得出∠AMN＝∠ANM，然后連接BI和CI，根據角度之間的關系得出△BMI和△INC相似，則NI2＝BM·CN，根據NI=MI得出答案；(3)、過點N作NG∥AD交MA的延長線于G，則∠ANG＝∠AGN＝30° ∴AN＝AG，NG＝然后根據平行線性質得出，然后代入得出答案.

試題解析：(1)

(2) ∵I為△ABC的內心 AI⊥MN ∴△AMI≌△ANI（ASA） ∴∠AMN＝∠ANM

連接BI、CI ∴∠BMI＝∠CNI

設∠BAI＝∠CAI＝α，∠ACI＝∠BCI＝β ∴∠NIC＝90°－α－β

∵∠ABC＝180°－2α－2β ∴∠MBI＝90°－α－β ∴△BMI∽△INC

∴ ∴NI2＝BM·CN ∵NI＝MI ∴MI2＝BM·CN

(3) 過點N作NG∥AD交MA的延長線于G ∴∠ANG＝∠AGN＝30° ∴AN＝AG，NG＝

∵AI∥NG ∴ ∴，得