Question

【題目】如圖，ABCD中，AB=2，以點A為圓心，AB為半徑的圓交邊BC于點E，連接DE、AC、AE．

（1）求證：△AED≌△DCA；
（2）若DE平分∠ADC且與⊙A相切于點E，求圖中陰影部分（扇形）的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD，AD∥BC，

∴四邊形AECD是梯形，

∵AB=AE，

∴AE=CD，

∴四邊形AECD是等腰梯形，

∴AC=DE，

在△AED和△DCA中，

，

∴△AED≌△DCA（SSS）

（2）解：∵DE平分∠ADC，

∴∠ADC=2∠ADE，

∵四邊形AECD是等腰梯形，

∴∠DAE=∠ADC=2∠ADE，

∵DE與⊙A相切于點E，

∴AE⊥DE，

即∠AED=90°，

∴∠ADE=30°，

∴∠DAE=60°，

∴∠DCE=∠AEC=180°﹣∠DAE=120°，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠BAD=∠DCE=120°，

∴∠BAE=∠BAD﹣∠EAD=60°，

∴S陰影= ×π×22= π．

【解析】（1）利用平行四邊形的性質和等腰梯形的判定與性質可證得全等；（2）由切線的性質定理和等腰梯形的性質、平行四邊形的性質求出陰影扇形的圓心角度數，進而求出面積.
【考點精析】利用平行四邊形的性質和切線的性質定理對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分；切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．