Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為長方形，C點在x軸，A點在y軸上，D點坐標是(0，0)，B點坐標是(3，4)，長方形ABCD沿直線EF折疊，點A落在BC邊上的G處，E、F分別在AD、AB上，F(2，4)．

（1）求G點坐標；

（2）△EFG的面積為　 　（直接填空）；

（3）點N在x軸上，直線EF上是否存在點M，使以M、N、F、G為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出M點的縱坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）G點的坐標為；（2）；（3）

【解析】

（1）根據折疊性質可知FG=AF=2，而FB=AB-AF=1，則在Rt△BFG中，利用勾股定理求出BG的長，從而得到CG的長，從而得到G點坐標；

（2）由三角函數求出∠BFG=60°，得出∠AFE=∠EFG=60°，由三角函數求出AE=AFtan∠AFE=2，代入三角形面積公式計算即可；

（3）因為M、N均為動點，只有FG已經確定，所以可從此入手，按照FG為一邊、FG為對角線的思路，順序探究可能的平行四邊形的形狀．確定平行四邊形的位置與形狀之后，利用全等三角形求得M點的縱坐標，再利用直線解析式求出M點的橫坐標，從而求得M點的坐標．

解：（1）∵B點坐標是（3，4），F（2，4），

∴AB=3，OA=BC=4，AF=2，

∴BF=AB-AF=1，

由折疊的性質得：△EFA≌△EFG，GF=AF=2，

∵四邊形ABCD為矩形，

∴∠B=90°，

∴

∴

∴G點的坐標為

（2）在Rt△BFG中，cos∠BFG=

∴∠BFG=60°，

∴∠AFE=∠EFG=60°，

∴AE=AFtan∠AFE=2tan60°=

∵△EFA的面積=

∴△EFG的面積=

故答案為：

（3）若以M、N、F、G為頂點的四邊形是平行四邊形，則可能存在以下情形：

①FG為平行四邊形的一邊，且N點在x軸正半軸上，如圖1所示．

過點作⊥x軸正半軸于點H，

∵

∴

又∵AB∥OQ

∴∠HQF=∠BFG

∴

又∵

在△和△GBF中，

∴

∴

由（2）得：

∴E點的坐標為

設直線EF的解析式為y=kx+b，則

解得：

∴直線EF的解析式為

∵當時， ，

∴點 的坐標為

②FG為平行四邊形的一邊，且N點在x軸負半軸上，如圖2所示．

仿照與①相同的辦法，可求得

③FG為平行四邊形的對角線，如圖3所示．

過 作FB延長線的垂線，垂足為H

則

在△和△中，

∴

∴

∴的縱坐標為

代入直線EF解析式，得到的橫坐標為

∴

綜上所述，存在點M，使以M、N、F、G為頂點的四邊形是平行四邊形．

點M的坐標為：