Question

【題目】如圖①，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去四個全等的等腰直角三角形（陰影部分所示），其中E，F在AB上；再沿虛線折起，點A，B，C，D恰好重合于點O處（如圖②所示），形成有一個底面為正方形GHMN的包裝盒，設AE=x （cm）．

（1）求線段GF的長；（用含x的代數式表示）
（2）當x為何值時，矩形GHPF的面積S （cm2）最大？最大面積為多少？
（3）試問：此種包裝盒能否放下一個底面半徑為15cm，高為10cm的圓柱形工藝品，且使得圓柱形工藝品的一個底面恰好落在圖②中的正方形GHMN內？若能，請求出滿足條件的x的值或范圍；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AE=BF=x，

∴EF=AB﹣AE﹣BF=60﹣2x．

∴在Rt△GEF中，GF= EF= ×（60﹣2x）=30 ﹣ x；

（2）解：∵NG= AE= x，即GH=NG= x，

∴S= x （30 ﹣ x）=﹣2x2+60x

=﹣2（x﹣15）2+450；

∵﹣2＜0，

∴當x=15時，S最大=450；

（3）解：能放下．

理由是：當圓柱形工藝品與GHMN相切時，x=15 ，

此時，30 ﹣ x=30 ﹣15 × =30 ﹣30＞10，故一定能放下．

根據題意得：

解得：15 ≤x≤30﹣5 ．

【解析】（1）主要考查切去的圖形為等腰直角三角形，等腰直角三角形的邊比為1：1：，根據邊比的關系，即可分別寫出對應邊的量。
（2）因為剪去的為等腰直角三角形，所以對應的△FBP也為等腰直角三角形，即GH=NG，底面為正方形，即可表達出S的表達式，利用二次函數進行求最值。（3）根據圓柱工藝品的高和底面半徑列出相應的不等式進行求解即可。
【考點精析】本題主要考查了二次函數的最值和正多邊形和圓的相關知識點，需要掌握如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a；圓的內接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內對角；圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等才能正確解答此題．