Question

【題目】如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點E為對角線AC上一動點（點E與點A，C不重合），連接DE，作EF⊥DE交射線BA于點F，過點E作MN∥BC分別交CD，AB于點M、N，作射線DF交射線CA于點G．

（1）求證：EF＝DE；

（2）當AF＝2時，求GE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）根據正方形的性質以及EF⊥DE，證明△DME≌△ENF即可；

（2）根據勾股定理計算出DF，根據平行線的性質得到，計算出DG，FG的值，利用特殊角的銳角三角函數計算出DE的值，最后證明△DGE∽△AGF，利用相似比列出方程即可求出GE的值．

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，且MN∥BC，

∴四邊形ANMD是矩形，∠BAC=45°，

∴∠ANM=∠DMN=90°，EN=AN=DM，

∴∠DEM+∠EDM=90°，

∵EF⊥DE，

∴∠DEM+∠FEN=90°，

∴∠EDM=∠FEN，

∴在△DME與△ENF中

∠DME=∠ENF=90°，DM=EN，∠EDM=∠FEN，

∴△DME≌△ENF（ASA），

∴EF＝DE；

（2）∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB∥DC，∠DAB=90°，

∴DF=，

∴，即，解得：DG=，

∴FG=DF-DG=，

又∵DE=EF，EF⊥DE，

∴△DEF是等腰直角三角形，

∴∠EDF=45°，DE=EF=，

∴∠GAF=∠GDE=45°，

又∵∠DGE=∠AGF，

∴△DGE∽△AGF，

∴，即，解得：，

∴．