Question

【題目】如圖所示，拋物線y=ax2+bx+c的頂點為M（﹣2，﹣4），與x軸交于A、B兩點，且A（﹣6，0），與y軸交于點C．

（1）求拋物線的函數解析式；
（2）求△ABC的面積；
（3）能否在拋物線第三象限的圖象上找到一點P，使△APC的面積最大？若能，請求出點P的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設此函數的解析式為y=a（x+h）2+k，

∵函數圖象頂點為M（﹣2，﹣4），

∴y=a（x+2）2﹣4，

又∵函數圖象經過點A（﹣6，0），

∴0=a（﹣6+2）2﹣4

解得a= ，

∴此函數的解析式為y= （x+2）2﹣4，即y= x2+x﹣3；

（2）

解：∵點C是函數y= x2+x﹣3的圖象與y軸的交點，

∴點C的坐標是（0，﹣3），

又當y=0時，有y= x2+x﹣3=0，

解得x1=﹣6，x2=2，

∴點B的坐標是（2，0），

則S△ABC= |AB||OC|= ×8×3=12；

（3）

解：假設存在這樣的點，過點P作PE⊥x軸于點E，交AC于點F．

設E（x，0），則P（x， x2+x﹣3），

設直線AC的解析式為y=kx+b，

∵直線AC過點A（﹣6，0），C（0，﹣3），

∴ ，解得 ，

∴直線AC的解析式為y=﹣ x﹣3，

∴點F的坐標為F（x，﹣ x﹣3），

則|PF|=﹣ x﹣3﹣（ x2+x﹣3）=﹣ x2﹣ x，

∴S△APC=S△APF+S△CPF

= |PF||AE|+ |PF||OE|

= |PF||OA|= （﹣ x2﹣ x）×6=﹣ x2﹣ x=﹣ （x+3）2+ ，

∴當x=﹣3時，S△APC有最大值 ，

此時點P的坐標是P（﹣3，﹣ ）．

【解析】（1）根據頂點坐標公式即可求得a、b、c的值，即可解題；（2）易求得點B、C的坐標，即可求得OC的長，即可求得△ABC的面積，即可解題；（3）作PE⊥x軸于點E，交AC于點F，可將△APC的面積轉化為△AFP和△CFP的面積之和，而這兩個三角形有共同的底PF，這一個底上的高的和又恰好是A、C兩點間的距離，因此若設設E（x，0），則可用x來表示△APC的面積，得到關于x的一個二次函數，求得該二次函數最大值，即可解題．