Question

【題目】如圖，在直角坐標系xOy中有一梯形ABCO，頂點C在x正半軸上，A、B兩點在第一象限；且AB∥CO，AO＝BC＝2，AB＝3，OC＝5．點P在x軸上，從點（﹣2，0）出發，以每秒1個單位長度的速度沿x軸向正方向運動；同時，過點P作直線l，使直線l和x軸向正方向夾角為30°．設點P運動了t秒，直線l掃過梯形ABCO的面積為S掃．

（1）求A、B兩點的坐標；

（2）當t＝2秒時，求S掃的值；

（3）求S掃與t的函數關系式，并求出直線l掃過梯形ABCO面積的時點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）（1，），（4，）；（2）；（3）；P的坐標為（5﹣2，0）．

【解析】

（1）兩底的差的一半就是A的橫坐標；過A、B作x軸的垂線，在構建的直角三角形中根據OA的長及兩底的差便可求出梯形的高即A點的縱坐標．得出A點坐標后向右平移3個單位就是B點的坐標．

（2）當t＝2時，P、O兩點重合，如果設直線l與AB的交點為D，那么AD＝2，而AD邊上的高就是A點的縱坐標，由此可求出△ADO的面積及直線l掃過的面積．

（3）本題要分三種情況進行討論：

①當P在原點左側，即當0≤t＜2時，重合部分是個三角形，如果設直線l與AO，AB分別交于E，F，可根據△AEF∽△AOD，用相似比求出其面積．即可得出S，t的函數關系式．

②當P在O點右側（包括和O重合），而F點在B點左側時，即當2≤t＜3時，掃過部分是個梯形，可根據梯形的面積計算方法即可得出直線l掃過部分的面積．也就能得出S，t的函數關系式．

③當P點在C點左側（包括和C點重合），F點在B點右側（包括和B點重合），即當3≤t≤7時，掃過部分是個五邊形，可用梯形ABCO的面積減去△MPC的面積來得出S，t的函數關系式．

（1）過A作AD⊥OC于D，過B作BE⊥OC于E，則ADEB是矩形．

∵ADEB是矩形，∴AD=BE=3．

∵AO=BC，∴△AOD≌△BCE，∴OD=CE=（OC－AB）÷2=1．

∵AO=2，∴AD==，∴A（1，）．

∵OE=OD+DE=1+3=4，BE=AD=，∴B（4，）．

∵BC=2EC，∴∠EBC=30°，∴∠OCB=60°．

（2）當t＝2時，P、O兩點重合，如果設直線l與AB的交點為D，那么AD＝2，而AD邊上的高就是A點的縱坐標，∴S掃==．

（3）分三種情況討論：①當0≤t＜2時，如圖1，△AEF∽△AOD，，∴S掃t2；

②當2≤t＜3時，如圖2，S掃＝S△AOD+S□DOPF（t﹣2），∴S掃；

③當3≤t≤7時，如圖3，過B作直線EB∥直線l交OC于E．

∵∠BEC=30°，∠OCB=60°，∴∠CBE=90°，∴EC=2BC=4，∴S△CEB=，CP=7－t．

∵MP∥BE，∴，∴S△CPM＝，∴S掃＝4S△CPM＝4，∴S掃t2

綜上所述： ．

∵t2，∴t2﹣14t+41＝0，t1＝7﹣2，t2＝7+27（舍），∴P的坐標為（5﹣2，0）．