Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+2與x軸相交于A（﹣1，0），B（4，0）兩點，與y軸相交于點C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）將△ABC繞AB中點M旋轉180°，得到△BAD．

①求點D的坐標；

②判斷四邊形ADBC的形狀，并說明理由；

（3）在該拋物線對稱軸上是否存在點P，使△BMP與△BAD相似？若存在，請求出所有滿足條件的P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）①點D的坐標為（3，﹣2），②四邊形ADBC為矩形，理由見解析；（3）在該拋物線對稱軸上存在點P，使△BMP與△BAD相似，點P的坐標為（，）或（，﹣）或（，5）或（，﹣5）．

【解析】

（1）由點A、B的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；

（2）利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出點C的坐標．①過點D作DE⊥x軸于點E，根據旋轉的性質可得出OA=EB、OC=ED，結合點A、B、O、C的坐標，即可找出點D的坐標；②由點A、B、C的坐標可得出OA、OC、OB的長度，利用勾股定理可求出AC、BC的長，由AC2+BC2=25=AB2可得出∠ACB=90°，再利用旋轉的性質即可找出四邊形ADBC為矩形；

（3）假設存在，設點P的坐標為（，m），由點M為AB的中點可得出∠BPD=∠ADB=90°，分△PMB∽△BDA及△BMP∽△BDA兩種情況考慮，利用相似三角形的性質可得出關于m的含絕對值的一元一次方程，解之即可得出結論．

（1）將A（﹣1，0）、B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，得：，解得：，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+2．

（2）當x＝0時，y＝﹣x2+x+2＝2，

∴點C的坐標為（0，2）．

①過點D作DE⊥x軸于點E，如圖1所示．

∵將△ABC繞AB中點M旋轉180°，得到△BAD，

∴OA＝EB，OC＝ED．

∵A（﹣1，0），O（0，0），C（0，2），B（4，0），

∴BE＝1，DE＝2，OE＝3，

∴點D的坐標為（3，﹣2）．

②四邊形ADBC為矩形，理由如下：

∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），

∴OA＝1，OC＝2，OB＝4，AB＝5，

∴AC＝，BC＝．

∵AC2+BC2＝25＝AB2，

∴∠ACB＝90°．

∵將△ABC繞AB中點M旋轉180°，得到△BAD，

∴∠ABC＝∠BAD，BC＝AD，

∴BC∥AD且BC＝AD，

∴四邊形ADBC為平行四邊形．

又∵∠ACB＝90°，

∴四邊形ADBC為矩形．

（3）假設存在，設點P的坐標為（，m）．

∵點M為AB的中點，

∴∠BPD＝∠ADB＝90°，

∴有兩種情況（如圖2所示）．

①當△PMB∽△BDA時，有，即，

解得：m＝±，

∴點P的坐標為（，）或（，﹣）；

②當△BMP∽△BDA時，有，即，

解得：m＝±5，

∴點P的坐標為（，5）或（，﹣5）．

綜上所述：在該拋物線對稱軸上存在點P，使△BMP與△BAD相似，點P的坐標為（，）或（，﹣）或（，5）或（，﹣5）．