Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與y軸正半軸交于點C，與x軸交于點A（2，0）、B（8，0），∠OCA=∠OBC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在直角坐標平面內確定點M，使得以點M、A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點M的坐標；
（3）若存在一點P到點A、B、C三點的距離相等，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）本題的關鍵是求出C點的坐標，根據∠OCA=∠OBC易證得三角形OAC與三角形OCB相似，可得出OC²=OA•OB，由此可求得OC的長，即可得出C點的坐標，然后將A、B、C三點坐標代入拋物線中即可求出該二次函數的解析式．
（2）分三種情況，如圖：
（3）根據題意可知：點P實際是三角形ABC的內心，因此P必在AB的垂直平分線上，據此可求出P點的橫坐標，然后設出其縱坐標，根據坐標系兩點間的距離公式，表示出PC和PA的長，已知了PC=PA，據此可求出P點的坐標．

解答：解：（1）∵∠AOC=∠COB，∠OCA=∠OBC
∴△AOC∽△COB
∴OC²=AO•BO=2×8=16
∴OC=4
∴C（0，4）
由題意，設拋物線解析式y=a（x-2）（x-8）
∴a（0-2）（0-8）=4
∴a=

1

4

∴y=

1

4

x²-

5

2

x+4

（2）M₁（6，4）或M₂（-6，4）或M₃（10，-4）

（3）∵點P到點A、B、C三點的距離相等，
∴點P為線段AB、AC中垂線的交點．
由已知易求出線段AB中垂線的直線方程是：x=5．
設P（5，y），
∵點P在線段AC的中垂線上，
∴PC=PA
∴（5-0）²+（y-4）²=（5-2）²+y²
解得y=4
∴P（5，4）．

點評：本題主要考查了二次函數解析式的確定、平行四邊形的性質以及三角形的內心坐標的求法等知識點．