Question

【題目】如圖①，△ABC是等邊三角形，D、E分別為邊BC和AC上的點，且BD＝CE，過D作BE的平行線，過E作BC的平行線，它們交于點F，連接AF．

（1）求證：△ABE≌△CAD；

（2）試判斷△ADF的形狀，并說明理由；

（3）若將D、E分別移為邊CB的延長線和AC的延長線上的點，其它條件不變（如圖②），則△ADF的形狀是否改變，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）△ADF是等邊三角形（3）△ADF仍是等邊三角形

【解析】

（1）△ABE、△CAD中，已知的條件有：AB＝AC，∠BAE＝∠ACD＝60°；若求兩個三角形全等，只需再證得AE＝CD即可，易知AC＝BC，而BD＝CE，即可得到AE＝CD，由此得證；
（2）易證得四邊形BDFE是平行四邊形，則BE＝DF＝AD；設AD、BE交于G，則∠ADF＝∠BGD；
而∠BGD＝∠ABE＋∠DAB，由（1）的全等三角形知：∠DAC＝∠ABE，故∠BGD＝∠DAC＋∠DAB＝60°，等量代換后，可求得∠ADF＝60°，即可得到△ADF是等邊三角形的結論．
（3）與（2）的結論相同，解題思路與（1）（2）完全相同．

（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，

∴∠BAE＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC；

∵BD＝CE，

∴AC﹣CE＝BC﹣BD，∴AE＝CD；

又AB＝AC，

∴△ABE≌△CAD；

（2）△ADF是等邊三角形，理由如下：

∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝60°；

∵DF∥BE，EF∥BC，

∴∠1＝∠2，四邊形BDFE是平行四邊形；

∴BE＝DF；

∵△ABE≌△CAD，∴∠4＝∠5，BE＝AD，∴DF＝AD；

∵∠1＝∠3＋∠4，∴∠2＝∠3＋∠5＝∠BAC＝60°；

∴△ADF是等邊三角形；

（3）△ADF仍是等邊三角形，理由如下：

∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠BAE＝∠C＝60°，AB＝BC；

∴∠ABD＝∠BCD＝180°﹣120°；

∵BD＝CE，∴△ABD≌△BCE，∴∠1＝∠3，BE＝AD；

∵DF∥BE，EF∥BC，

∴∠1＝∠2，四邊形BDFE是平行四邊形；

∴BE＝DF，∴DF＝AD；

∵∠3＋∠4＝∠ABC＝60°，∴∠2＋∠4＝60°即∠ADF＝60°

∴△ADF是等邊三角形．