Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2﹣ x+c（a≠0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣2），已知B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)M是線段BC下方的拋物線上一點(diǎn)，記點(diǎn)M到線段BC的距離為d，當(dāng)d取最大值時(shí)，求出此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)E是直線y=﹣x上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P、E，使以點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)P，點(diǎn)E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)E坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y= x2﹣x-2；（2）M（2，-3）；（3）存在；點(diǎn)E坐標(biāo)為(,)、(,)、（,)或(,).

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）作MN∥y軸交BC于點(diǎn)N，可知的面積==2MN=，

故當(dāng)MN最大時(shí)，的面積也最大，此時(shí)M到線段BC的距離d也最大，據(jù)此可解；
（3）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（n，-n）．以點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)P，點(diǎn)E為頂點(diǎn)的平行四邊形分兩種情況：①以AB為邊，根據(jù)A、B、E點(diǎn)的坐標(biāo)表示出P點(diǎn)的坐標(biāo)，將其代入拋物線線解析式中即可求出n值，從而得出點(diǎn)E的坐標(biāo)；②以AB為對角線，根據(jù)A、B、E點(diǎn)的坐標(biāo)表示出P點(diǎn)的坐標(biāo)，將其代入拋物線線解析式中即可求出n值，從而得出點(diǎn)E的坐標(biāo)．綜上即可得出結(jié)論．

（1）解：由題意得c=-2，0=a×42-×4-2，

解得a= ，

∴拋物線的解析式為：y= x2﹣x-2.

（2）解：作MN∥y軸交BC于點(diǎn)N，

∵的面積==2MN=，

∴當(dāng)MN最大時(shí)，的面積也最大，此時(shí)M到線段BC的距離d也最大，

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,

∴,

解得,

∴y=x-2，

∴MN=x-2-( x2-x-2)=- x2+2x=-(x-2)2+2，

∴當(dāng)x=2時(shí)，MN有最大值2，

∴M（2，-3）.

∴當(dāng)d取最大值時(shí)， M點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，-3）；

（3）解：存在，理由如下：

設(shè)點(diǎn) E 的坐標(biāo)為 (n,n), 以點(diǎn)A,點(diǎn)B,點(diǎn)P,點(diǎn)E為頂點(diǎn)的平行四邊形分兩種情況，如圖，

①以線段AB為邊，點(diǎn)E在點(diǎn)P的左邊時(shí)，

∵A(1,0),B(4,0),E(n,n)，

∴P(5+n,n)，

∵點(diǎn)P(5+n,n)在拋物線y= x2-x-2上，

∴n=(5+n)2(5+n)2,

解得：n1=, n2= ，

此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(,)或(,)；

以線段AB為邊，點(diǎn)E在點(diǎn)P的右邊時(shí)，

∵A(1,0),B(4,0),E(n,n)，

∴P(n5,n)，

∵點(diǎn)P(n5,n)在拋物線y=x2x2上，

∴n=(n5)2(n5)2,

即n211n+36=0，

此時(shí)△=(11)24×36=23<0，

∴方程無解；

②以線段AB為對角線時(shí)，

∵A(1,0),B(4,0),E(n,n)，

∴P(3n,n)，

∵點(diǎn)P(3n,n)在拋物線y=x2x2上，

∴n=(3n)2(3n)2,

解得：n3=,n4= ，

此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（,)或(,).

綜上可知：存在點(diǎn)P、E, 使以A、B、P、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形, 點(diǎn)E坐標(biāo)為(,)、(,)、（,)或(,).