Question

【題目】已知：拋物線y＝x2﹣2（m﹣1）x﹣1﹣m

（1）當m＝2時，求該拋物線的對稱軸和頂點坐標；

（2）設該拋物線與x軸交于A（x1，0）、B（x2，0），x1＜0＜x2，與y軸交于點C，且滿足，求這個拋物線的解析式；

（3）在（2）的條件下，是否存在著直線y＝kx+b與拋物線交于點P、Q，使y軸平分△CPQ的面積？若存在，求出k，b應滿足的條件；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）對稱軸直線為x＝1，頂點坐標為（1，﹣4）；（2）y＝x2﹣2x﹣3；（3）存在，當k＝﹣2且b＞﹣3時直線y＝kx+b與拋物線交于點P，Q使y軸平分△CPQ的面積．

【解析】

（1）將m＝2代入拋物線解析式中，并且配方得出y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，即可得出結論；

（2）先表示出AO＝﹣x1，OB＝x2，CO＝m+1＞0，再用 ，建立方程化簡得出（m+1）（x1+x2）＝﹣2x1x2，再根據根與系數的關系得出x1+x2＝2（m﹣1），x1x2＝﹣（1+m），即可得出結論；

（3）設點P的橫坐標為xP，點Q的橫坐標為xQ，直線與y軸交于點E，利用面積相等得出|xP|＝|xQ|，即xP＝﹣xQ，再由，得出x2﹣（k+2）x﹣（b+3）＝0，進而得出xP+xQ＝k+2＝0，即可得出結論．

（1）當m＝2時，得出y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

∴拋物線的對稱軸直線為x＝1，頂點坐標為（1，﹣4）；

（2）∵x1＜0＜x2，

∴AO＝﹣x1，OB＝x2，

又∵a＝1＞0，

∴CO＝m+1＞0，

∴m＞﹣1，

∵，

∴CO（OB﹣AO）＝2AOOB，

即（m+1）（x1+x2）＝﹣2x1x2

對于拋物線y＝x2﹣2（m﹣1）x﹣1﹣m，

令y＝0，則0＝x2﹣2（m﹣1）x﹣1﹣m，

∵x1+x2＝2（m﹣1），x1x2＝﹣（1+m），

∴（m+1）2（m﹣1）＝2（1+m），

解得m＝﹣1（舍去），m＝2．

∴二次函數的解析式為y＝x2﹣2x﹣3．

（3）存在著直線y＝kx+b與拋物線交于點P、Q，使y軸平分△CPQ的面積，

設點P的橫坐標為xP，點Q的橫坐標為xQ，直線與y軸交于點E，

∵S△PCE＝S△QCE，CE|xP|＝CE|xQ|，

∴|xP|＝|xQ|，

∵y軸平分△CPQ的面積，

∴點P、Q在y軸異側，

即xP＝﹣xQ，

由，

得x2﹣（k+2）x﹣（b+3）＝0

而xP，xQ為x2﹣（k+2）x﹣（b+3）＝0的兩根，

∴xP+xQ＝k+2＝0，

∴k＝﹣2，

又∵直線與拋物線有兩個交點，

∴b+3＞0，即b＞﹣3，

∴當k＝﹣2且b＞﹣3時直線y＝kx+b與拋物線交于點P，Q使y軸平分△CPQ的面積.