Question

【題目】定義:如圖1，在△ABC和△ADE中，AB=AC=AD=AE，當∠BAC+∠DAE=180°時，我們稱△ABC與△DAE互為“頂補等腰三角形”，△ABC的邊BC上的高線AM叫做△ADE的“頂心距”，△ADE的邊DE上的高線AN叫做△ABC的“頂心距”，點A叫做“頂補中心”.

特例感知

（1）圖2，圖3中，△ABC與△DAE互為“頂補等腰三角形”，AM，AN是“頂心距”,

①如圖2，當∠BAC=90°時，AM與DE之間的數量關系為AM=_________DE,

②如圖3，當∠BAC=120°，BC=6時，AN的長為_________,

猜想論證

（2）在圖1中，當∠BAC為任意角時，猜想AM與DE之間的數量關系，并給予證明.

拓展應用

（3）如圖4，在四邊形ABCD中，AD=AB，CD=BC，∠B=90°，∠A=60°，CD=2，在四邊形|ABCD的內部是否存在點P，使 得△PAD與△PBC互為“頂補等腰三角形”?若存在，請給予證明，并求△PBC的“頂心距”的長；若不存在， 請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)①；②3； (2) AM=DE，證明見解析； (3)存在，證明見解析， PM =1.

【解析】分析：(1)①證△BAC≌△DAE，得BC＝DE，由等腰直角三角形斜邊上的高等于斜邊的一半得結論；②在△ABM中，用勾股定理求AB，根據△ADE是等邊三角形求解；(2)用AAS證明△BAM≌△AND，得AM＝ND，而DE＝2ND；(3)連接AC，證明△ADC≌△ABC，得PA＝PB＝PC＝PD，證明∠APD＋∠BPC＝180°，得△PAD與△PBC互為“頂補等腰三角形”，結合(2)的結論求△PBC的“頂心距”的長.

詳解：(1)①∵∠BAC＝90，

又∵∠BAC＋∠DAE＝180°，∴∠BAC＝∠DAE＝90°.

又∵AB＝AC＝AD＝AE，

∴△BAC≌△DAE，∴BC＝DE.

Rt△ABC中，AM是BC邊上的高，

∴AM＝BC，AM＝DE.

故答案為.

②∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠ABC＝30.

Rt△ABM中，AB＝6，由勾股定理得，AM＝3，BM＝，

∴AD＝2.

∵∠BAC＋∠DAE＝180°，

∴∠DAE＝60°，

又∵DA＝EA，∴△ADE是等邊三角形，

∴∠AND＝90°，∠DAN＝30°，∴DN＝，AN＝3.

故答案為3.

(2)猜想:AM＝DE.

證明:∵AB＝AC＝AD＝AE，AM，AN為高線，

∴∠DAN＝∠DAE，∠BAM＝∠BAC.

∵∠BAC＋∠DAE＝180°，∴∠DAN＋∠BAM＝90°.

∵∠DAN＋∠NDA＝90°，∴∠BAM＝∠NDA.

∵∠AMB＝∠AND＝90°，AB＝AD，∴△BAM≌△AND，

∴DN＝DE，∴AM＝DE.

(3)存在，

如圖，連接AC，取AC的中點P，連接PB，PD.

∵AD＝AB，CD＝BC，AC＝AC，

∴△ADC≌△ABC，∴∠ABC＝∠ADC＝90°.

∵P是AC的中點，

∴PB＝PA＝PC＝AC，PD＝PA＝PC＝AC.

∴PA＝PB＝PC＝PD，

又∵DC＝BC，PC＝PD，

∴△PDC≌△PBC，∴∠DPC＝∠BPC.

∵∠APD＋∠DPC＝180°，∠APD＋∠BPC＝180°，

∴△APD與△BPC互為“頂補等腰三角形”，

過點P作PM⊥AD，則PM為△PBC的“頂心距”PA＝PD，

∴AM＝DM，AP＝PC，

∴PM是△ACD的中位線，

PM＝BC＝BC＝1.