Question

【題目】在△ABC中，AB=AC，CD⊥BC于點C，交∠ABC的平分線于點D，AE平分∠BAC交BD于點E，過點E作EF∥BC交AC于點F，連接DF．

（1）補全圖1；

（2）如圖1，當∠BAC=90°時，

①求證：BE=DE；

②寫出判斷DF與AB的位置關系的思路（不用寫出證明過程）；

（3）如圖2，當∠BAC=α時，直接寫出α，DF，AE的關系．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析（3）

【解析】分析：（1）按要求作圖即可；

（2）①延長AE，交BC于點H，由等腰三角形三線合一的性質得出AH⊥BC且BH=HC．然后利用平行線分線段成比例定理即可證明結論；

②延長FE，交AB于點G，利用等腰三角形的性質證得GE=EF，再證△BEG≌△DEF即可得出DF與AB的位置關系；

（3）利用銳角三角形即可得出答案.

詳解：（1）補全圖1；

（2）①延長AE，交BC于點H．

∵AB=AC， AE平分∠BAC，

∴AH⊥BC于H，BH=HC．

∵CD⊥BC于點C，

∴EH∥CD．

∴BE=DE．

②延長FE，交AB于點G．

由AB=AC，得∠ABC=∠ACB．

由EF∥BC，得∠AGF=∠AFG．

得AG=AF．

由等腰三角形三線合一得GE=EF．

由∠GEB=∠FED，可證△BEG≌△DEF．

可得∠ABE=∠FDE．

從而可證得DF∥AB．

（3）如圖所示，

由DF∥AB且GE=EF，

≌,

∴BG=DF,

由EF∥BC，BD平分∠ABC，

可證是等腰三角形，

∴BG=GF,

∵，

∴．