Question

【題目】如圖所示，平面直角坐標系中，△ABC的邊AB在x軸上，∠C=60°，AC交y軸于點E，AC，BC的長是方程x2﹣16x+64=0的兩個根且OA：OB=1：3，請解答下列問題：

（1）求點C的坐標；
（2）求直線EB的解析式；
（3）在x軸上是否存在點P，使△BEP為等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：解方程x2﹣16x+64=0得x1=8，x2=8，

∴AC=BC=8，

∵∠A=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴AB=8，

∵OA：OB=1：3，

∴AO=2，OB=6，

過點C作CH⊥x軸于點H，則AH= AB=4，CH= AB=4 ，

∴OH=AH﹣AO=4﹣2=2，

∴C（2，4 ）

（2）

解：設直線AE解析式為y=kx+b（k≠0），把A（﹣2，0）、C（2，4 ）代入可得 ，解得 ，

∴直線AC的解析式為y= x+2 ，

令x=0可得y=2 ，

∴E（0，2 ），

∵B（6，0），

設直線BE的解析式為y=rx+s，

∴ ，解得 ，

∴直線BE的解析式為y=﹣ x+2

（3）

解：設P點坐標為（x，0），

∵B（6，0），E（0，2 ），

∴BE= =4 ，BP=|x﹣6|，PE= = ，

若△BEP為等腰三角形，則有BP=EP、BP=BE和EP=BE三種情況，

② 當BP=EP時，則|x﹣6|= ，解得x=2，此時P點坐標為（2，0）；

②當BP=BE時，則4 =|x﹣6|，解得x=6+4 或x=6﹣4 ，此時P點坐標為（6+4 ，0）或（6﹣4 ，0）；

③當EP=BE時，則 =4 ，解得x=6或x=﹣6，當x=6時，點E和點B重合，不合題意，舍去，

∴x=﹣6，此時P點坐標為（6，0）；

綜上可知存在滿足條件的點P，其坐標為（2，0）或（6+4 ，0）或（6﹣4 ，0）或（6，0）．

【解析】（1）解方程x2﹣16x+64=0，可得到AC=BC=8，進而證得△ABC是等邊三角形，得到AB=8，再由OA：OB=1：3，得到OA、OB的長，從而求得A、B的坐標即可求得C的坐標；（2）應用待定系數法即可求得直線AC的解析式，從而求得E的坐標，然后再根據待定系數法即可求得直線EB的解析式；（3）可設P點坐標為（x，0），則可表示出BP、EP，且可求得BE的長，當△BEP為等腰三角形時，則有BP=EP、BP=BE和EP=BE三種情況，可分別得到關于x的方程，可求得x的值，則可求得P點坐標．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解確定一次函數的表達式的相關知識，掌握確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法，以及對等腰三角形的性質的理解，了解等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）．