Question

26、如圖，已知?ABCD，AE平分∠BAD，交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且DF=AD．
（1）試說明DE=BC；
（2）試問AB與DG+FC之間有何數量關系？寫出你的結論，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）AE平分∠BAD，則∠BAE=∠DAE；AB∥CD，則∠BAE=∠DEA，從而有∠DAE=∠DEA，所以，DE=DA，再根據平行四邊形的對邊相等，證明DE=BC；
（2）結論：AB=DG+FC；將△CDF平移到△ABH的位置，將△ADG順時針旋轉90°到△AHI的位置，證明∠I=∠AGD=∠GAH=∠BAI，即可．

解答：解：（1）因為四邊形ABCD是平行四邊形，
所以AD=BC，AB∥DC．
所以∠BAE=∠DEA．
因為AE平分∠BAD，
所以∠BAE=∠DAE．
所以∠DEA=∠DAE．
所以AD=DE．
所以DE=BC．
（2）AB=DG+FC
因為四邊形ABCD是平行四邊形，
所以AB=DC，AD=BC，AB∥DC，AD∥BC、所以∠ABC+∠C=180°
把△DFC沿射線DA方向平移，平移距離為AD，則DC與AB重合，記平移后的三角形為△ABH，則∠AHB=∠DFC=90°，∠ABH=∠C，AH=DF，HB=FC
因為∠ABH+∠ABC=∠C+∠ABC=180°，所以F，B，H三點共線，
所以BF+HB=BF+FC，從而FH=BC=AD=DF=AH．
所以四邊形AHFD為正方形．
所以∠ADF=90°，AH∥DF．
把△ADG繞點A順時針旋轉90°，則AD與AH重合，
∠DAG=∠HAI，∠DGA=∠HIA，∠AHI=∠ADG=90°，
所以∠AHB+∠AHI=∠AHB+∠ADG=180°，所以I，H，B三點共線．
因為AE平分∠BAD，所以∠BAG=∠DAG，
所以∠HAB+∠BAG=∠HAB+∠DAG=∠HAB+∠HAI．
即∠HAG=∠IAB．
因為AH∥DF，所以∠HAG=∠DGA，
所以∠BIA=∠DGA=∠BAI．所以AB=IB．
因為IB=IH+HB=DG+FC，所以AB=DG+FC．

點評：本題考查了平行四邊形的性質，等腰三角形的判斷，用平移，旋轉的方法證明問題的能力．