Question

如圖，已知ABCD是圓O的內接四邊形，AB=BD，BM⊥AC于M，求證：AM=DC+CM．

Answer 1

分析：首先在MA上截取ME=MC，連接BE，由BM⊥AC，根據垂直平分線的性質，即可得到BE=BC，得到∠BEC=∠BCE；再由AB=BD，得到∠ADB=∠BAD，而∠ADB=∠BCE，則∠BEC=∠BAD，根據圓內接四邊形的性質得∠BCD+∠BAD=180°，易得∠BEA=∠BCD，從而可證出△ABE≌△DBC，得到AE=CD，即有AM=DC+CM．

解答：證明：在MA上截取ME=MC，連接BE，
∵BM⊥AC，
∴BE=BC，
∴∠BEC=∠BCE，
∵AB=BD，
∴

AB

=

BD

，
∴∠ADB=∠BAD，
而∠ADB=∠BCE，
∴∠BEC=∠BAD，
又∵∠BCD+∠BAD=180°，∠BEA+∠BCE=180°，
∴∠BEA=∠BCD，
∵∠BAE=∠BDC，
∴△ABE≌△DBC，
∴AE=CD，
∴AM=AE+EM=DC+CM．

點評：此題考查了圓周角定理、圓的內接四邊形的性質、全等三角形的判定與性質以及線段垂直平分線的性質等知識．此題綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是準確作出輔助線，掌握圓的內接四邊形對角互補與在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等定理的應用．