Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F是AD延長線上一點，且DF＝BE．易證：CE＝CF．

（1）在圖1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°．試猜想GE，BE，GD三線段之間的數量關系，并證明你的結論．

（2）運用（1）中解答所積累的經驗和知識，完成下面兩題：

①如圖2，在四邊形ABCD中∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，點E，點G分別是AB邊，AD邊上的動點．若∠BCD＝α，∠ECG＝β，試探索當α和β滿足什么關系時，圖1中GE，BE，GD三線段之間的關系仍然成立，并說明理由．

②在平面直角坐標中，邊長為1的正方形OABC的兩頂點A，C分別在y軸、x軸的正半軸上，點O在原點．現將正方形OABC繞O點順時針旋轉，當A點第一次落在直線y＝x上時停止旋轉，旋轉過程中，AB邊交直線y＝x于點M，BC邊交x軸于點N（如圖3）．設△MBN的周長為p，在旋轉正方形OABC的過程中，p值是否有變化？若不變，請直接寫出結論．

Answer 1

【答案】（1）GE=GD+DF，證明見解析；（2）β=2α時，GE=GD+DF仍然成立，理由見解析；（3）△BMN的周長沒有變化，周長為2．

【解析】

（1）由正方形的性質可得∠BCD=∠B=∠ADC=90°，BC=CD，由∠CEG=45°可得∠BCE+∠DCG=45°，利用SAS可證明△BCE≌△DCF，可得∠BCE=∠DCF，CE=CF，即可得出∠FCG=45°，可得∠FCG=∠GCE，利用SAS可證明△CEG≌△CFG，可得EG=FG，根據BE=DF即可得出GE=GD+BE；

（2）①如圖，延長AD到F，使DF=BE，連接CF，利用SAS可證明△BCE≌△DCF，可得∠BCE=∠DCF，CE=CF，根據GE=GD+BE可得EG=GF，利用SSS可證明△CEG≌△CFG，可得∠GCF=∠GCE，由∠GCF=∠GCD+∠DCF可得∠GCE=∠GCD+∠BCE，即可得出∠BCD=2∠GCE，可得答案；

②如圖，延長BA，交y軸于H，由旋轉的性質可得∠HOA=∠NOC，利用ASA可證明△HOA≌△NOC，可得AH=CN，OH=ON，由直線OM的解析式可得∠HAM=∠MON=45°，利用SAS可證明△HOM≌△NOM，可得HM=MN，可得MN=AM+CN，即可得出△MBN的周長p=AB+BC=2，即可證明△MBN的周長沒有變化．

（1）GE=GD+DF，理由如下：

∵ABCD是正方形，

∴∠BCD=∠B=∠ADC=90°，BC=CD，

在△BCE和△DCF中，，

∴△BCE≌△DCF，

∴CE=CF，∠BCE=∠DCF，

∵∠GCE=45°，

∴∠BCE+∠DCG=45°，

∴∠DCF+∠DCG=45°，即∠GCF=45°，

∴∠GCF=∠GCE，

在△CEG和△CFG中，，

∴△CEG≌△CFG，

∴GE=GF=GD+DF．

（2）當β=2α時，GE=GD+DF仍然成立，理由如下：

如圖，延長AD到F，使DF=BE，連接CF，

在△BCE和△DCF中，，

∴△BCE≌△DCF，

∴CE=CF，∠BCE=∠DCF，

∵EG=GD+BE，

∴EG=GD+DF=GF，

在△CEG和△CFG中，，

∴△CEG≌△CFG，

∴∠ECG=∠FCG，

∴∠ECG=∠DCF+∠DCG=∠BCE+∠DCG，

∴∠BCD=2∠ECG，即β=2α，

∴當β=2α時，圖1中GE，BE，GD三線段之間的關系仍然成立．

（3）如圖，延長BA，交y軸于H，

∵將正方形OABC繞O點順時針旋轉，

∴∠HOA=∠NOC，

在△HOA和△NOC中，，

∴△HOA≌△NOC，

∴AH=CN，OH=ON，

∵直線OM的解析式為y=x，

∴∠HOM=∠MON=45°，

在△HOM和△NOM中，，

∴HM=MN，

∴MN=AM+AH=AM+CN，

∴△BMN的周長p=BM+MN+BN=BM+AM+CN+BN=AB+BC=2，

∴△BMN的周長沒有變化，周長為2．