Question

 

如圖9，拋物線與軸交于、兩點（點在點的左側），拋物線上另有一點在第一象限，滿足∠為直角,且恰使△∽△.

(1)(3分)求線段的長.

(2)(3分)求該拋物線的函數關系式．

(3)(4分)在軸上是否存在點，使△為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

 

（1）２

（2）ｙ＝－ｘ＋ｘ－４

（3）（０，０），（６－２，０），（４，０），（６＋２，０）

解析:（１）解：由ax－8ax+12a＝０（a＜0）得

　　　ｘ＝２，ｘ＝６

　　　即：ＯＡ＝２，ＯＢ＝６                   　……1分

　　　∵△OCA∽△OBC

　　　∴ＯＣ＝ＯＡ·ＯＢ＝２×６              　……2分

　　　∴ＯＣ＝２（－２舍去）

　　　∴線段ＯＣ的長為２                  　　……3分

（２）解：∵△OCA∽△OBC

　　　∴

設ＡＣ＝ｋ，則ＢＣ＝ｋ

由ＡＣ＋ＢＣ＝ＡＢ得

ｋ＋（ｋ）＝（６－２）

解得ｋ＝２（－２舍去）

∴ＡＣ＝２，ＢＣ＝２＝ＯＣ              　 ……1分

 過點Ｃ作ＣＤ⊥ＡＢ于點Ｄ

∴ＯＤ＝ＯＢ＝３

∴ＣＤ＝

∴Ｃ的坐標為（３，）                    　 ……2分

將C點的坐標代入拋物線的解析式得

＝ａ（３－２）（３－６）

∴ａ＝－

∴拋物線的函數關系式為：

ｙ＝－ｘ＋ｘ－４              　　　　　　　　 ……3分

（３）解：①當Ｐ與Ｏ重合時，△ＢＣＰ為等腰三角形

∴Ｐ的坐標為（０，０）         ……1分

②當ＰＢ＝ＢＣ時(Ｐ在B點的左側)，△ＢＣＰ為等腰三角形

∴Ｐ的坐標為（６－２，０）  ……2分

③當Ｐ為ＡＢ的中點時，ＰＢ＝ＰＣ，△ＢＣＰ為等腰三角形

∴Ｐ的坐標為（４，０）                         ……3分

④當ＢＰ＝ＢＣ時(Ｐ在B點的右側)，△ＢＣＰ為等腰三角形

∴Ｐ的坐標為（６＋２，０）                

∴在ｘ軸上存在點Ｐ，使△ＢＣＰ為等腰三角形，符合條件的點Ｐ的坐標為：

（０，０），（６－２，０），（４，０），（６＋２，０）  ……4分