Question

如圖9，拋物線與軸交于、兩點（點在點的左側），拋物線上另有一點在第一象限，滿足∠為直角,且恰使△∽△.

(1)(3分)求線段的長.
(2)(3分)求該拋物線的函數關系式．
(3)(4分)在軸上是否存在點，使△為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）２
（2）ｙ＝－ｘ＋ｘ－４
（3）（０，０），（６－２，０），（４，０），（６＋２，０）解析:
（１）解：由ax－8ax+12a＝０（a＜0）得
　　　ｘ＝２，ｘ＝６
　　　即：ＯＡ＝２，ＯＢ＝６                   　……1分
　　　∵△OCA∽△OBC
　　　∴ＯＣ＝ＯＡ·ＯＢ＝２×６              　……2分
　　　∴ＯＣ＝２（－２舍去）
　　　∴線段ＯＣ的長為２                  　　……3分
（２）解：∵△OCA∽△OBC
　　　∴
設ＡＣ＝ｋ，則ＢＣ＝ｋ
由ＡＣ＋ＢＣ＝ＡＢ得
ｋ＋（ｋ）＝（６－２）
解得ｋ＝２（－２舍去）
∴ＡＣ＝２，ＢＣ＝２＝ＯＣ              　 ……1分
過點Ｃ作ＣＤ⊥ＡＢ于點Ｄ
∴ＯＤ＝ＯＢ＝３
∴ＣＤ＝
∴Ｃ的坐標為（３，）                    　 ……2分
將C點的坐標代入拋物線的解析式得
＝ａ（３－２）（３－６）
∴ａ＝－
∴拋物線的函數關系式為：
ｙ＝－ｘ＋ｘ－４              　　　　　　　　 ……3分
（３）解：①當Ｐ與Ｏ重合時，△ＢＣＰ為等腰三角形
∴Ｐ的坐標為（０，０）          ……1分
②當ＰＢ＝ＢＣ時(Ｐ在B點的左側)，△ＢＣＰ為等腰三角形
∴Ｐ的坐標為（６－２，０）  ……2分
③當Ｐ為ＡＢ的中點時，ＰＢ＝ＰＣ，△ＢＣＰ為等腰三角形
∴Ｐ的坐標為（４，０）                          ……3分
④當ＢＰ＝ＢＣ時(Ｐ在B點的右側)，△ＢＣＰ為等腰三角形
∴Ｐ的坐標為（６＋２，０）                
∴在ｘ軸上存在點Ｐ，使△ＢＣＰ為等腰三角形，符合條件的點Ｐ的坐標為：
（０，０），（６－２，０），（４，０），（６＋２，０）  ……4分