Question

如圖9，拋物線與軸交于A、B兩點，與軸交于點C（0，）.
（1）求拋物線的對稱軸及的值；
（2）拋物線的對稱軸上存在一點P，使得的值最小，求此時點P的坐標；
（3）點M是拋物線上的一動點，且在第三象限.
①當M點運動到何處時，△AMB的面積最大？求出△AMB的最大面積及此時點M的坐標；
②當M點運動到何處時，四邊形AMCB的面積最大？求出四邊形AMCB的最大面積及此時點M的坐標.

Answer 1

解：（1）拋物線的對稱軸為：直線.…………(1分)
∵拋物線過點C（0，），則，
∴.…………(2分)
（2）如圖9，

根據兩點之間線段最短可知，當P點在線段AC上就可使的值最小，
又因為P點要在對稱軸上，所以P點應為線段AC與對稱軸直線的交點.
由（1）可知，拋物線的表達式為：.
令，則，解得：，.
則點A、B的坐標分別是A（，0）、B（，0）.
設直線AC的表達式為，則
  解得：
所以直線AC的表達式為.…………(3分)
當時， ，
所以，此時點P的坐標為（，）. ………… (4分)
（3）①依題意得：
當點M運動到拋物線的頂點時，△AMB的面積最大.
由拋物線表達式可知，拋物線的頂點坐標為（，）.
∴點M的坐標為（，）. …………(5分)
△AMB的最大面積. …………(6分)
②方法一：
如圖9，過點M作軸于點H，連結、、.
點M在拋物線上，且在第三象限，設點M的坐標為（，），則


…………(7分)
.
當時，四邊形AMCB的面積最大，最大面積為.………(8分)
當時，.
∴四邊形AMCB的面積最大時，點M的坐標為（，）. (9分)
方法二：
如圖9，過點M作軸于點H，交直線AC于點N，連結、、.
點M在拋物線上，且在第三象限，設點M的坐標為（，），則
點N的坐標為（，），則.
則
…………(7分)
.
當時，四邊形AMCB的面積最大，最大面積為.………(8分)
當時，.
∴四邊形AMCB的面積最大時，點M的坐標為（，）. (9分)解析:
略