Question

【題目】如圖，在⊙O 中，AB 是直徑，點 D 是⊙O 上一點，點 C 是弧 AD 的中點，CE⊥AB 于點 E，過點 D 的切線交 EC 的延長線于點 G，連接 AD，分別交 CE，CB 于點 P，Q，連接 AC．

(1）求證：GP＝GD.

（2）下列結論：①∠BAD＝∠ABC；②點 P 是△ACQ 的外心，其中正確結論是 .（只需填寫序號）.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）②.

【解析】

連接OD，利用切線的性質，可得出∠GPD=∠GDP，利用等角對等邊可得出GP=GD；

（2）由于弧AC 與弧BD不一定相等，根據圓周角定理可知①錯誤；先由垂徑定理得到A為弧CF的中點，再由C為弧AD的中點，得到弧CD=弧AF，根據等弧所對的圓周角相等可得出∠CAP=∠ACP，利用等角對等邊可得出AP=CP，又AB為直徑得到∠ACQ為直角，由等角的余角相等可得出∠PCQ=∠PQC，得出CP=PQ，即P為直角三角形ACQ斜邊上的中點，即為直角三角形ACQ的外心，可知②正確；

解：（1）連接OD，

則OD⊥GD，∠OAD=∠ODA，

∵∠ODA+∠GDP=90°，∠EPA+∠EAP=∠EAP+∠GPD=90°，

∴∠GPD=∠GDP；

∴GP=GD；

（2）∵在⊙O中，AB是直徑，點D是⊙O上一點，點C是弧AD的中點，

∴弧AC=弧CD≠弧BD，

∴∠BAD≠∠ABC，故①錯誤；

∵弦CF⊥AB于點E，

∴A為弧CF的中點，即弧AF=弧AC，

又∵C為弧AD的中點，

∴弧AC=弧CD，

∴弧AF=弧CD，

∴∠CAP=∠ACP，

∴AP=CP．

∵AB為圓O的直徑，

∴∠ACQ=90°，

∴∠PCQ=∠PQC，

∴PC=PQ，

∴AP=PQ，即P為Rt△ACQ斜邊AQ的中點，

∴P為Rt△ACQ的外心，故②正確；

故答案為：②．