Question

【題目】如圖，在等腰 Rt△ABC 中，AC=BC=2，點 P 在以斜邊 AB 為直徑的半圓上，M 為 PC 的中點．當點 P 沿半圓從點A 運動至點 B 時，點 M 運動的路徑長是_____．

Answer 1

【答案】π

【解析】

取AB的中點O、AC的中點E、BC的中點F，連結OC、OP、OM、OE、OF、EF，如圖，利用等腰直角三角形的性質得到AB=BC=2，則OC=AB=，OP=AB=，再根據等腰三角形的性質得OM⊥PC，則∠CMO=90°，于是根據圓周角定理得到點M在以OC為直徑的圓上，由于點P點在A點時，M點在E點；點P點在B點時，M點在F點，則利用四邊形CEOF為正方得到EF=OC=，所以M點的路徑為以EF為直徑的半圓，然后根據圓的周長公式計算點M運動的路徑長．

解：取AB的中點O、AC的中點E、BC的中點F，連結OC、OP、OM、OE、OF、EF，如圖，

∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2，

∴AB=BC=2，

∴OC=AB=，OP=AB=，

∵M為PC的中點，

∴OM⊥PC，

∴∠CMO=90°，

∴點M在以OC為直徑的圓上，

點P點在A點時，M點在E點；點P點在B點時，M點在F點，易得四邊形CEOF為正方形，EF=OC=，

∴M點的路徑為以EF為直徑的半圓，

∴點M運動的路徑長=2π=π．

故答案為π．