Question

【題目】已知直角△ABC，∠BAC=90°，D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC邊上的點，且DE⊥DF連接EF

（1）如圖1，求證：∠BED=∠AFD；

（2）求證：BE2+CF2=EF2；

（3）如圖2，當∠ABC=45°，若BE=12，CF=5，求△DEF的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）利用四邊形內角和得出∠AED+∠AFD=180°，再根據補角的性質即可得；

（2）延長ED至點P，使ED=DP，構造全等三角形，利用全等三角形的性質得到直角三角形，由勾股定理及等量代換可得；

（3）由（2）結論求EF長，再通過全等證明DE=DF,由面積公式求解.

解：（1）∵DE⊥DF,

∴∠EDF=90°,

∵∠BAC=90°,

∴∠AED+∠AFD=180°,

∵∠AED+∠BED=180°,

∴∠BED=∠AFD；

（2）如圖，

延長ED至點P，使ED=DP，連接CP,EP,

∵FD⊥EP,

∴FD為EP的垂直平分線，

∴EF=FP,

∵ED=DP, ∠EDB=∠CDP，BD=CD，

∴△EDB≌PDC,

∴EB=CP, ∠B=∠DCP,

∵∠BAC=90°,

∴∠B+∠ACB=90°,

∴∠DCP+∠ACB=90°,

即∠ACP=90°,

由勾股定理得，CP2+CF2=FP2，

∴BE2+CF2=EF2；

（3）如圖，∵BE2+CF2=EF2

∴52+122=EF2，

∴EF=13，

∵△ABC是等腰直角三角形，BD=CD,

∴AD⊥BC, ∴∠ADC=90°, ∠BAD=∠B=∠C=45°,

∵∠EDF=90°

∴∠ADE=∠CDF,

∴△ADE≌CDF,

∴DE =DF= ,

∴S△DEF= .