Question

【題目】在一個三角形中，如果一個角是另一個角的2倍，我們稱這種三角形為倍角三角形．如圖1，倍角△ABC中，∠A=2∠B，∠A、∠B、∠C的對邊分別記為a，b，c，倍角三角形的三邊a，b，c有什么關(guān)系呢？讓我們一起來探索．

（1）我們先從特殊的倍角三角形入手研究．請你結(jié)合圖形填空：

三三角形角形	角的已知量
圖2	∠A=2∠B=90°
圖3	∠A=2∠B=60°

（2）如圖4，對于一般的倍角△ABC，若∠CAB=2∠CBA，∠CAB、∠CBA、∠C的對邊分別記為a，b，c，a，b，c，三邊有什么關(guān)系呢？請你作出猜測，并結(jié)合圖4給出的輔助線提示加以證明；

（3）請你運用（2）中的結(jié)論解決下列問題：若一個倍角三角形的兩邊長為5，6，求第三邊長．（直接寫出結(jié)論即可）

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）；（3）第三邊的長為或或或4或．

【解析】

（1）由題意可分別得出相應(yīng)角的度數(shù)，求解特殊角的三角函數(shù)值即可；（2）由第（1）猜測a，b，c的關(guān)系是=，如圖4作出輔助線，不難證明△CBD∽△CAB，由相似三角形的性質(zhì)寫出對應(yīng)邊的比值，得出結(jié)論；（3）分類討論分別求出第三邊長即可.

（1）

三角形	角的已知量
圖2	∠A=2∠B=90°
圖3	∠A=2∠B=60°

（2）猜測a，b，c的關(guān)系是=，延長CA至D，使AD=AB（如圖4）；

∵AD=AB，∴∠D=∠ABD，

∴∠CAB=∠D+∠ABD=2∠D，

∵∠CAB=2∠CBA，

∴∠D=∠CBA，

又∵∠C=∠C，

∴△CBD∽△CAB，

∴=，即=；

（3）①當(dāng)a=5，b=6時，

由（2）得：=，解得c=﹣（不合題意舍去）；

②當(dāng)a=6，b=5時，

=，解得c=；

③當(dāng)a=5，c=6時，

=，解得b=﹣3（負(fù)值舍去）；

④當(dāng)a=6，c=5時，

=，解得b=4（負(fù)值舍去）；

⑤當(dāng)b=5，c=6時，

=，解得a=（負(fù)值舍去）；

⑥當(dāng)b=6，c=5時，

=，解得a=（負(fù)值舍去）；

綜上可知：第三邊的長為或或﹣3或4或．