Question

【題目】如圖1，矩形ABCD，E為邊AB上的點，將△BCE沿CE折疊，點B恰好落在AC上點B′處．

（1）若AB＝8，BC＝6，求BE的長度；

（2）如圖2，過點D作EC的垂線，垂足為點G，分別交BC、AC于點F、H，連結EF，若EF＝AE，求證：為定值；

（3）若四邊形EFCH是菱形，則＝_____．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）證明見解析，；（3）

【解析】

（1）由軸對稱的性質可知BE=BE'，∠AB'E=90°，可設BE=BE'=x，通過勾股定理可求出BE的長；

（2）先證∠AEB'=∠ACB，再證∠EFB=∠AEB'=∠ACB并設為，設∠EFD=，可通過平角等于180°列出等量關系式，求出β與α的比值，即可求出結果；

（3）設EF=FC=CH=HE=a，AD=y，證△ADH∽△CFH，求出AD=AH=b，通過△AEH∽△ABC可求出a與b的關系，即可求出最終結論．

解：（1）如圖：

∵四邊形ABCD為矩形，

∴△ABC為直角三角形，

Rt△ABC中，由勾股定理，

，

由翻折可知：BC=B′C=6，

∴AB′=10－6=4，

設EB=EB′=x，AE=8－x，

Rt△AEB′中，AB′2+EB′2=AE2，

∴42+x2=（8－x）2，

∴x=3，

∴BE=3；

（2）作，如圖：

在△AB'E與△ABC中，∠AB'E=∠B=90°，∠EAB'=∠CAB，

∴∠AEB'=∠ACB，

∵BE=B'E，EF=AE，∠AB'E=∠B，

∴Rt△AB'E≌Rt△FBE（HL），

∴∠EFB=∠AEB'，

設∠EFB=∠AEB'=∠ACB=，∠EFD=，

則∠FEG=90°-，

∴∠BEC=+90°-，

由折疊知，∠BEC=∠B'EC，

∵∠BEC+∠B'EC+∠AEB'=90°，

∴2（+90°）+=180°，

∴3=2，

∴，

即為定值；

（3）如圖：

設EF=FC=CH=HE=a，AD=y，

∵AD∥BC，

∴△ADH∽△CFH，

∴，

∵CF=CH，

∴AD=AH=b，

∴AC=a+b，

∵EH∥BC，

∴△AEH∽△ABC，

∴，

∴，

∴，

設b=1，則，
∴，

∴，

故答案為：．