Question

【題目】問題背景：如圖1，在正方形ABCD的內部，作∠DAE＝∠ABF＝∠BCG＝∠CDH，根據三角形全等的條件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，從而得四邊形EFGH是正方形．

類比探究：如圖2，在正△ABC的內部，作∠1＝∠2＝∠3，AD，BE，CF兩兩相交于D，E，F三點（D，E，F三點不重合）．

（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，請選擇其中一對進行證明；

（2）△DEF是否為正三角形？請說明理由；

（3）如圖3，進一步探究發現，△ABD的三邊存在一定的等量關系，設BD＝a，AD＝b，AB＝c，請探索a，b，c滿足的等量關系．

Answer 1

【答案】（1）△ABD≌△BCE≌△CAF，證明詳見解析；（2）△DEF是正三角形，理由詳見解析；（3）c2＝a2+ab+b2．

【解析】

（1）由正三角形的性質得出∠CAB＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC，證出∠ABD＝∠BCE，由ASA證明△ABD≌△BCE即可；

（2）由全等三角形的性質得出∠ADB＝∠BEC＝∠CFA，證出∠FDE＝∠DEF＝∠EFD，即可得出結論；

（3）作AG⊥BD于G，由正三角形的性質得出∠ADG＝60°，在Rt△ADG中，DG＝b，AG＝b，在Rt△ABG中，由勾股定理即可得出結論．

（1）△ABD≌△BCE≌△CAF；理由如下：

∵△ABC是正三角形，

∴∠CAB＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝AC，

又∵∠1＝∠2＝∠3，

∴∠ABD＝∠BCE＝∠CAF，

在△ABD、△BCE和△CAF中，

，

∴△ABD≌△BCE≌△CAF（ASA）；

（2）△DEF是正三角形；理由如下：

∵△ABD≌△BCE≌△CAF，

∴∠ADB＝∠BEC＝∠CFA，

∴∠FDE＝∠DEF＝∠EFD，

∴△DEF是正三角形；

（3）c2＝a2+ab+b2．理由如下：

如圖所示，作AG⊥BD于G，

∵△DEF是正三角形，

∴∠ADG＝60°，

在Rt△ADG中，∠AGD=90°，∠ADG=60°，

∴∠DAG=30°，

∴DG＝AD=b，

∴AG＝=b，

∴BG=BD+DG=a+b，

在Rt△ABG中，∠AGB=90°，

∴AB2=BG2+AG2，

即c2＝（a+b）2+（b）2，

∴c2＝a2+ab+b2．