Question

【題目】如圖，拋物線過點， ． 為線段OA上一個動點（點M與點A不重合），過點M作垂直于x軸的直線與直線AB和拋物線分別交于點P、N．

（1）求直線AB的解析式和拋物線的解析式；

（2）如果點P是MN的中點，那么求此時點N的坐標；

（3）如果以B，P，N為頂點的三角形與相似，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1），；（2）N（，）；（3）M(，0)或M(，0) .

【解析】分析: （1）利用待定系數法求直線和拋物線解析式；

（2）先表示出N（m，- m2+m+2），P（m，-m+2），則計算出NP=-m2+4m，PM=-m+2，則利用NP=PM得到-m2+4m=-m+2，然后解方程求出m即可得到N點坐標；

（3）利用兩點間的距離公式計算出AB=，BP=m，NP=-m2+4m，由于∠BPN=∠ABO，利用相似三角形的判定方法，當時，△BPN∽△OBA，則△BPN∽△MPA，即；當時，△BPN∽△ABO，則△BPN∽△APM，即，然后分別解關于m的方程即可得到對應的M點的坐標.

詳解:

（1）解：設直線的解析式為（）

∵，

∴ 解得

∴直線的解析式為

∵拋物線經過點，

∴ 解得

∴

（2）∵軸， 設，

∴，

∵點是的中點

∴

∴

解得， （不合題意，舍去）

∴

（3）∵， ，

∴，

∴

∵

∴當與相似時，存在以下兩種情況：

∴ 解得

∴

∴ ,解得

∴

點睛: 本題考查了二次函數的綜合題：熟練掌握二次函數圖象上點的坐標特征、二次函數的性質和相似三角形的判定與性質；會利用待定系數法求函數解析式；靈活應用相似比表示線段之間的關系；理解坐標與圖形的性質；會利用分類討論的思想解決數學問題.