Question

如圖，直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=30°，點O在斜邊AB上，半徑為2的⊙O過點B，且切AC邊于點D，交BC邊于點E，

求：（1）弧DE的長； (結果保留π)
（2）由線段CD，CE及弧DE圍成的陰影部分的面積。(結果保留π和根號)

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：（1）連接OD、OE，一方面根據切線的性質和直角三角形兩銳角的關系求得∠AOD=60⁰，另一方面根據等邊三角形的判定和性質得出∠BOE =60⁰，從而求得∠DOE =60⁰，根據弧長公式即可求得DE弧長；
（2）用梯形OECD和扇形ODE的面積差來求出陰影部分的面積．
試題解析：（1）如圖，連接OD、OE，
∵AC是⊙O的切線，∴OD⊥AC，即∠ADO=90°.
∵∠C=90°，∠A=30°，OD=2，∴OA=4，∠AOD=∠B=60⁰.
又∵OB=OE，∴△OBE是等邊三角形. ∴∠BOE =60⁰. ∴∠DOE =60⁰.
∴DE弧長為.
（2）∵∠C=90°，∠A=30°，OD=2，∴OA="4." ∴AB="6." ∴BC="3" ，AC=3，AD=2，CD=.
∴．