Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD的兩條對角線AC和BD相交于點O，并且BD=4，AC=6，BC= ．

（1）AC與BD有什么位置關系？為什么？
（2）四邊形ABCD是菱形嗎？為什么．

Answer 1

【答案】
（1）解：結論：AC⊥BD．

理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴BO=DO=2，AO=CO=3，

∵BC= ，

∴BO2+CO2=CB2，

∴∠BOC=90°，

∴BD⊥AC，

（2）解：是菱形．理由如下：

∵BD⊥AC，四邊形ABCD是平行四邊形，

∴四邊形ABCD是菱形．

【解析】（1）題中已知平行四邊形的兩對角線的長，根據平行四邊形的對角線互相平分，求出OB、OC的長，再利用勾股定理的逆定理證明△BOC是直角三角形，即可得出結論。
（2）由（1）的結論BD⊥AC及已知四邊形ABCD是平行四邊形，可證明四邊形ABCD是菱形。
【考點精析】關于本題考查的勾股定理的逆定理和平行四邊形的性質，需要了解如果三角形的三邊長a、b、c有下面關系：a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形；平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分才能得出正確答案．