Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，AC＝CE，連接AE交BC于點D，延長DC至F點，使CF＝CD，連接AF．

（1）判斷直線AF與⊙O的位置關系，并說明理由．

（2）若AC＝10，tan∠CAE＝，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）直線AF是⊙O的切線，見解析；（2）AE＝16.

【解析】

（1）根據全等三角形的判定和性質可得∠CAF＝∠EAC，再根據切線的判定定理即可得到直線AF是⊙O的切線；

（2）等腰三角形ACE中，兩腰AC=CE=10，且已知底角正切值，過點C作CM⊥AE，底邊長AE可以求出來．

解：（1）直線AF是⊙O的切線，理由是：

∵AB為⊙O直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴AC⊥BC，

又∵CF＝CD，

∴根據全等三角形的判定（HL）可知△ADC與△AFC是全等三角形，

∴根據全等三角形的性質可得∠CAF＝∠EAC，

∵AC＝CE，

∴∠E＝∠EAC，

∵∠B＝∠E，

∴∠B＝∠FAC，

∵∠B+∠BAC＝90°，

∴∠FAC+∠BAC＝90°，

∴OA⊥AF，

又∵點A在⊙O上，

∴直線AF是⊙O的切線；

（2）過點C作CM⊥AE，

∵tan∠CAE＝，

∴，

∵AC＝10，

∴設CM＝3x，則AM＝4x，

在Rt△ACM中，根據勾股定理，CM2+AM2＝AC2，

∴（3x）2+（4x）2＝100，

解得x＝2，

∴AM＝8，

∵AC＝CE，

∴AE＝2AM＝2×8＝16．