Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經過A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三點．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）如圖1，P為拋物線上在第二象限內的一點，若△PAC面積為3，求點P的坐標；

（3）如圖2，D為拋物線的頂點，在線段AD上是否存在點M，使得以M，A，O為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）點P的坐標為（﹣1，4）或（﹣2，3）；（3）存在，（，）或（，），見解析.

【解析】

（1）利用待定系數法，然后將A、B、C的坐標代入解析式即可求得二次函數的解析式；
（2））過P點作PQ垂直x軸，交AC于Q，把△APC分成兩個△APQ與△CPQ，把PQ作為兩個三角形的底，通過點A，C的橫坐標表示出兩個三角形的高即可求得三角形的面積．
（3）通過三角形函數計算可得∠DAO=∠ACB，使得以M，A，O為頂點的三角形與△ABC相似，則有兩種情況，∠AOM=∠CAB=45°，即OM為y=-x，若∠AOM=∠CBA，則OM為y=-3x+3，然后由直線解析式可求OM與AD的交點M．

（1）把A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）代入拋物線解析式y＝ax2+bx+c得

，

解得，

所以拋物線的函數表達式為y＝﹣x2﹣2x+3．

（2）如解（2）圖1，過P點作PQ平行y軸，交AC于Q點，

∵A（﹣3，0），C（0，3），

∴直線AC解析式為y＝x+3，

設P點坐標為（x，﹣x2﹣2x+3．），則Q點坐標為（x，x+3），

∴PQ＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x．

∴S△PAC＝，

∴，

解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2．

當x＝﹣1時，P點坐標為（﹣1，4），

當x＝﹣2時，P點坐標為（﹣2，3），

綜上所述：若△PAC面積為3，點P的坐標為（﹣1，4）或（﹣2，3），

（3）如解（3）圖1，過D點作DF垂直x軸于F點，過A點作AE垂直BC于E點，

∵D為拋物線y＝﹣x2﹣2x+3的頂點，

∴D點坐標為（﹣1，4），

又∵A（﹣3，0），

∴直線AC為y＝2x+4，AF＝2，DF＝4，tan∠PAB＝2，

∵B（1，0），C（0，3）

∴tan∠ABC＝3，BC＝，sin∠ABC＝，直線BC解析式為y＝﹣3x+3．

∵AC＝4，

∴AE＝ACsin∠ABC＝＝，BE＝，

∴CE＝，

∴tan∠ACB＝，

∴tan∠ACB＝tan∠PAB＝2，

∴∠ACB＝∠PAB，

∴使得以M，A，O為頂點的三角形與△ABC相似，則有兩種情況，如解（3）圖2

Ⅰ．當∠AOM＝∠CAB＝45°時，△ABC∽△OMA，

即OM為y＝﹣x，

設OM與AD的交點M（x，y）

依題意得：，

解得，

即M點為（，）．

Ⅱ．若∠AOM＝∠CBA，即OM∥BC，

∵直線BC解析式為y＝﹣3x+3．

∴直線OM為y＝﹣3x，設直線OM與AD的交點M（x，y）．則

依題意得：，

解得，

即M點為（，），

綜上所述：存在使得以M，A，O為頂點的三角形與△ABC相似的點M，其坐標為（，）或（，）．