Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF＝45°，AE、AF分別交BD于M、N，連按EN、EF、有以下結論：①AN＝EN，②當AE＝AF時，＝2﹣，③BE+DF＝EF，④存在點E、F，使得NF＞DF，其中正確的個數是（　　）

A. 1B. 2C. 3D. 4

Answer 1

【答案】B

【解析】

①如圖1，證明△AMN∽△BME和△AMB∽△NME，可得∠NAE=∠AEN=45°，則△AEN是等腰直角三角形可作判斷；
②先證明CE=CF，假設正方形邊長為1，設CE=x，則BE=1-x，表示AC的長為AO+OC可作判斷；
③如圖3，將△ADF繞點A順時針旋轉90°得到△ABH，證明△AEF≌△AEH（SAS），則EF=EH=BE+BH=BE+DF，可作判斷；
④在△ADN中根據比較對角的大小來比較邊的大小．

①如圖1，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠EBM＝∠ADM＝∠FDN＝∠ABD＝45°，

∵∠MAN＝∠EBM＝45°，∠AMN＝∠BME，

∴△AMN∽△BME，

∴，

∵∠AMB＝∠EMN，

∴△AMB∽△NME，

∴∠AEN＝∠ABD＝45°

∴∠NAE＝∠AEN＝45°，

∴△AEN是等腰直角三角形，

∴AN＝EN，

故①正確；

②在△ABE和△ADF中，

∵，

∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），

∴BE＝DF，

∵BC＝CD，

∴CE＝CF，

假設正方形邊長為1，設CE＝x，則BE＝1﹣x，

如圖2，連接AC，交EF于H，

∵AE＝AF，CE＝CF，

∴AC是EF的垂直平分線，

∴AC⊥EF，OE＝OF，

Rt△CEF中，OC＝EF＝x，

△EAF中，∠EAO＝∠FAO＝22.5°＝∠BAE＝22.5°，

∴OE＝BE，

∵AE＝AE，

∴Rt△ABE≌Rt△AOE（HL），

∴AO＝AB＝1，

∴AC＝＝AO+OC，

∴1+x＝，

x＝2﹣，

∴＝＝＝；

故②不正確；

③如圖3，

∴將△ADF繞點A順時針旋轉90°得到△ABH，則AF＝AH，∠DAF＝∠BAH，

∵∠EAF＝45°＝∠DAF+∠BAE＝∠HAE，

∵∠ABE＝∠ABH＝90°，

∴H、B、E三點共線，

在△AEF和△AEH中，

，

∴△AEF≌△AEH（SAS），

∴EF＝EH＝BE+BH＝BE+DF，

故③正確；

④△ADN中，∠FND＝∠ADN+∠NAD＞45°，

∠FDN＝45°，

∴DF＞FN，

故存在點E、F，使得NF＞DF，

故④不正確；

故選B．