Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=60cm，∠A=30°，點D從點A出發沿AB方向以2cm/秒的速度向點B勻速運動，同時點E從點B出發沿BC方向以1cm/秒的速度向點C勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設點D、E運動的時間是t秒（0＜t≤30）．過點D作DF⊥AC于點F，連接DE，EF．

（1）填空：四邊形BEFD是_________；

（2）當t=______時，四邊形BEFD能夠成為菱形。

（3）當t為何值時？△DEF為直角三角形．

Answer 1

【答案】（1）平行四邊形；（2）20；（3）t＝15或24秒時，△DEF為直角三角形．

【解析】

（1）利用t表示出BE的長，利用直角三角形的性質求得DF的長，然后根據平行四邊形的判定解答即可；

（2）由菱形的性質可得關于t的方程，解方程即得結果；

（3）分三種情況：顯然∠DFE＜90°；當∠EDF＝90°時，如圖1，利用矩形的性質和30°角的直角三角形的性質可得關于t的方程，解方程即得結果；當∠DEF＝90°時，如圖2，易得∠BDE＝90°，然后利用30°角的直角三角形的性質解答．

證明：（1）∵∠A＝30°，DF⊥AC，AD＝2t，BE＝t，

∴DF＝AD＝t＝BE，

∵DF⊥AC，BC⊥AC，

∴DF∥BE，且DF＝BE，

∴四邊形BEFD是平行四邊形；

故答案為：平行四邊形；

（2）當BD＝BE時，四邊形BEFD能夠成為菱形，

此時60﹣2t＝t，∴t＝20，

∴當t＝20s，四邊形BEFD能夠成為菱形；

故答案為：20；

（3）∵∠DFE＜∠DFC，∴∠DFE＜90°；

當∠EDF＝90°時，如圖1，

∵∠ACB＝∠EDF＝∠CFD＝90°，

∴四邊形DECF是矩形，

∴DF＝EC＝t，

∵∠C=90°，AB=60cm，∠A=30°，

∴cm，

∴t＝30﹣t，

∴t＝15；

當∠DEF＝90°，如圖2，

∵四邊形BEFD是平行四邊形，

∴BD∥EF，

∴∠BDE＝∠DEF＝90°，且∠B＝60°，

∴∠DEB＝30°，

∴BE＝2BD，

∴2（60﹣2t）＝t，

∴t＝24．

綜上所述：當t＝15或24秒時，△DEF為直角三角形．