Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，BC交⊙O于點D，E是的中點，連接AE交BC于點F，∠ACB=2∠EAB．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）若cosC=，AC=6，求BF的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析．（2）BF的長為3．

【解析】

（1）證明：連結AD，如圖，

∵E是的中點，

∴，

∴∠EAB=∠EAD，

∵∠ACB=2∠EAB，

∴∠ACB=∠DAB，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠DAC+∠ACB=90°，

∴∠DAC+∠DAB=90°，即∠BAC=90°，

∴AC⊥AB，

∴AC是⊙O的切線；

（2）解：作FH⊥AB于H，如圖，

在Rt△ACD中，∵cosC=，

∴CD=×6=4，

在Rt△ACB中，∵cosC=，

∴BC=×6=9，

∴BD=BC﹣CD=9﹣4=5，

∵∠EAB=∠EAD，即AF平分∠BAD，而FD⊥AD，FH⊥AB，

∴FD=FH，

設BF=x，則DF=FH=5﹣x，

∵FH∥AC，

∴∠HFB=∠C，

在Rt△BFH中，∵cos∠BFH=cosC=，

∴，

解得x=3，即BF的長為3．