Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，直線y＝﹣x+b交y軸于點A，交x軸于點B，S△AOB＝．

（1）求b的值；

（2）點C以每秒1個單位長度的速度從O點出發沿x軸向點B運動，點D以每秒2個單位長度的速度從A點出發沿y軸向點O運動，C，D兩點同時出發，當點D運動到點O時，C，D兩點同時停止運動．連接CD，設點C的運動時間為t秒，△CDO的面積為S，求S與t的函數關系式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；

（3）在（2）條件下，過點C作CE⊥CD交AB于點E，過點D作DF∥x軸交AB于點F，過點F作FH⊥CE，垂足為H．在CH上取點M，使得MH：HE＝8：33，連接FM，若∠FMH＝∠FEH，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）b＝9；（2）S＝﹣t2+；（3）t＝1

【解析】

（1）由直線解析式可得A、B兩點坐標，根據△AOB的面積列方程解出b的值．

（2）分別用t表示OC和OD的長即可得到S與t的表達式．

（3）首先根據題意畫出示意圖，然后根據所給定的線段等量關系與角度等量關系推導出∠FEM的正切值，過點E作GP⊥OB于P交DF的延長線于點G，可以推證∠DEG＝∠FEM，于是利用∠DEG的正切值列出比例方程，最后解出t的值．

解：（1）如圖1，

∵直線y＝﹣x+b交y軸于點A，交x軸于點B，

∴A（0，b），B（b，0）

∴OA＝OB＝b，

∴S△AOB＝＝．

∴b＝9或-9（不符合與y軸的交點，舍去負值）．

（2）如圖2，

由題意知OC＝t，AD＝2t，則OD＝OA﹣AD＝9﹣2t，

∴S＝ODOC＝t（9﹣2t）＝﹣t2+．

（3）∵＝，

∴設MH＝8k，HE＝33k，

如圖3，在HE上截取HN＝MH＝8k，連接FN，

則EN＝EH﹣HN＝25k，

∵FH⊥CE于H，

∴FM＝FN，∠FME＝∠FNM，

∵∠FME＝∠FEM，

∴設∠FEM＝2α，∠FME＝3α，

∴∠FNM＝3α，

∵∠FNM＝∠NFE+∠FEN，

∴∠NFE＝∠FNM﹣∠FEM＝3α﹣2α＝α，

在FE上取一點Q，連接NQ，使NQ＝NE＝25k，

則∠NQE＝∠FEM＝2α，

∵∠NQE＝∠NFE+∠QNF＝α+∠QNF，

∴∠NF＝α＝∠NFE，

∴FQ＝NQ＝25k，

作NR⊥QE于R，則QR＝RE＝n，

∴FE＝FQ+QE＝25k+2n，

∵cos∠FEH＝cos2α＝＝，

∴＝，

解得n＝15k，

∴QR＝RE＝15k，

∴NR＝＝20k，

∴tan2α＝＝．

過點E作GP⊥OB于P交DF的延長線于點G，

∴∠CPE＝∠BPE＝90°，

∵OA＝OB＝9，

∴∠OAB＝∠OBA＝45°，

∴∠PEB＝45°，

∴BP＝PE，

∵DF∥OB，

∴∠ODF＝∠ADF＝90°，

∴四邊形DOPG為矩形，

∴GP＝OD，DG＝OP，

作CT⊥OB交AB于T，交DF于K，連接DT，

則ODKC為矩形，△CTB為等腰直角三角形，

∴DK＝OC＝t，CK＝OD，CT＝CB，

∵∠FDA＝90°，∠FAF＝45°，

∴△ADF為等腰直角三角形，

∴DF＝AD＝2OC＝2t，

∴K為DF中點，

∴T為AF中點，

∴△DTF為等腰直角三角形，

∴∠DTK＝∠FTK＝45°，

∵DC⊥CE，

∴∠DCT+∠TCE＝∠TCE+∠BCE＝90°，

∴∠DCT＝∠ECB，

在△DCT和△ECB中：

∴△DCT≌△ECB（ASA），

∴CD＝CE，

∴△DCE為等腰直角三角形，

∴∠CED＝45°，

∵∠DCO+∠ECP＝∠DCO+∠ODC＝90°，

∴∠ODC＝∠ECP，

在△DOC和△CPE中：

∴△DOC≌△CPE（AAS），

∴BP＝PE＝OC＝t，

∴DG＝OP＝OB﹣PB＝9﹣t，

∴FG＝DG﹣DF＝9﹣3t，

∵∠GFE＝∠AFD＝45°，∠GEF＝∠BEP＝45°，

∴DE＝GF＝9﹣3t，

∵∠DEG＝∠FEG+∠FED＝45°+∠FED＝∠DEC+∠FED＝∠FEM＝2α，

∴tan∠DEG＝＝＝，

解得t＝1．