Question

【題目】如圖，已知等邊△ABC，AB＝12，以AB為直徑的半圓與BC邊交于點D，過點D作DF⊥AC，垂足為F，過點F作FG⊥AB，垂足為G，連結GD.

(1)求證：DF是⊙O的切線；

(2)求FG的長；(3)求tan∠FGD的值．

Answer 1

【答案】(1)證明過程見解析；(2)；(3)

【解析】

試題分析：(1)連接OD，根據等邊三角形得出∠A=∠B=∠C=60°，根據OD=OB得到∠ODB=60°，得到OD∥AC，根據垂直得出切線；(2)根據中位線得出BD=CD=6，根據Rt△CDF的三角函數得出CF的長度，從而得到AF的長度，最后根據Rt△AFG的三角函數求出FG的長度；(3)過點D作DH⊥AB，根據垂直得出FG∥DH，根據Rt△BDH求出BH、DH的長度，然后得出∠GDH的正切值，從而得到∠FGD的正切值.

試題解析：(1)如圖①，連結OD， ∵△ABC為等邊三角形， ∴∠C＝∠A＝∠B＝60°，

而OD＝OB， ∴△ODB是等邊三角形，∠ODB＝60°， ∴∠ODB＝∠C，

∴OD∥AC， ∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切線

(2)∵OD∥AC，點O為AB的中點，∴OD為△ABC的中位線，

∴BD＝CD＝6.在Rt△CDF中，∠C＝60°，∴∠CDF＝30°，

∴CF＝CD＝3，∴AF＝AC－CF＝12－3＝9 在Rt△AFG中，∵∠A＝60°，∴FG＝AF·sinA＝9×＝

(3)如圖②，過D作DH⊥AB于H.∵FG⊥AB，DH⊥AB，∴FG∥DH，∴∠FGD＝∠GDH.在Rt△BDH中，∠B＝60°，∴∠BDH＝30°，∴BH＝BD＝3，DH＝BH＝3.∴tan∠GDH＝＝＝，

∴tan∠FGD＝tan∠GDH＝