Question

【題目】如圖，已知二次函數圖象的頂點坐標為C(1,0)，直線與該二次函數的圖象交于A、B兩點，其中A點的坐標為(3,4)，B點在軸上.

(1)求的值及這個二次函數的關系式；

(2)P為線段AB上的一個動點（點P與A、B不重合），過P作軸的垂線與這個二次函數的圖象交于點E點，設線段PE的長為，點P的橫坐標為，求與之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；

(3)D為直線AB與這個二次函數圖象對稱軸的交點，在線段AB上是否存在一點P，使得四邊形DCEP是平行四邊形？若存在，請求出此時P點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)m=1，y=－2x+1；(2)h=－+3x(0＜x＜3)；(3)P(2,3)

【解析】

試題分析：(1)將點A代入直線解析式求出m的值，將二次函數設出頂點式，然后求出函數解析式；(2)、分別得出點P和點E的縱坐標，然后將兩點的縱坐標做差得出h與x的函數關系式；(3)、根據平行四邊形性質可得：PE=DC，根據點D在直線y=x+1上得出點D的坐標，從而得出方程求出x的值，得出點P的坐標.

試題解析：(1)∵ 點A(3,4)在直線y=x+m上，∴ 4=3+m. ∴m=1.

設所求二次函數的關系式為y=a(x-1)2. ∵ 點A(3,4)在二次函數y=a(x-1)2的圖象上，

∴ 4=a(3-1)2, ∴ a=1. ∴ 所求二次函數的關系式為y=(x-1)2. 即y=x2-2x+1.

(2)設P、E兩點的縱坐標分別為yP和yE ∴ PE=h=yP-yE=(x+1)-(x2-2x+1)=-x2+3x.

即h=-x2+3x (0＜x＜3).

(3)存在.要使四邊形DCEP是平行四邊形，必需有PE=DC. ∵ 點D在直線y=x+1上,

∴ 點D的坐標為(1,2),∴ -x2+3x=2 .即x2-3x+2=0 . 解得：x1=2，x2=1 (不合題意，舍去)

∴ 當P點的坐標為(2,3)時，四邊形DCEP是平行四邊形.