Question

【題目】如圖，把含30°角的三角板放置在如圖所示的平面直角坐標系中，∠AOB=90°，∠B=30°，OA=2，斜邊AB∥x軸，點A在雙曲線上．

（1）求雙曲線的解析式；

（2）把三角板AOB繞點A順時針旋轉，使得點O的對應點C落在x軸的負半軸上的對應線段為AD，試判斷點D是否在雙曲線上？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）雙曲線的解析式為y=-；（2）∴點D在雙曲線上．理由見試題解析。

【解析】

試題分析：（1）如圖，先求出∠AOE=30°，再根據含30度的直角三角形三邊的關系求出AE和OE，從而得到A點坐標，然后利用待定系數法求反比例函數解析式；

（2）利用旋轉的性質得AC=AO，∠CAO=∠BAD，則可判斷△AOC為等邊三角形，得到∠CAO=∠BAD=60°，于是可判斷點D在AC的延長線上，然后通過證明點A與點D關于原點對稱得到點D是在雙曲線上．

試題解析：（1）設AB與y軸相交于點E．∵AB∥x軸，∴∠AEO=90°,

在Rt△AEO中，∠A=90°﹣30°=60°，OE=OA60°=2×=，AE=OA°=2×=1．

∴點A的坐標為（-1，），設雙曲線的解析式為y=(k≠0），代入（-1，）可得k=，

∴雙曲線的解析式為y=；

（2）點D是在雙曲線上．理由如下：∵AB∥x軸，∴∠AOC=∠BAO=60°,∵△ACD是由△AOB繞點A旋轉得到的，∴AO=AC，AB=AD,∴△AOC是等邊三角形，∴∠CAO=60°，即旋轉角∠BAD=∠CAO=60°，

又∠BAO=60°，∴點O在AD上，在Rt△AOB中，∠B=30°，AB=2AO，∴AD=2AO，AO=OD，

∴點D與點A關于點O中心對稱．∴點D在雙曲線上．