Question

【題目】如圖，已知BD：OD＝2：1，點C在射線OF上，OC＝12．點M是∠EOF內一點，MC⊥OF于點C，MC＝4．在射線CF上取一點A，連結AM并延長交射線OE于點B，作BD⊥OF于點D．

（1）當AC的長度為多少時，△AMC和△BOD相似；

（2）當點M恰好是線段AB中點時，試判斷△AOB的形狀，并說明理由；

（3）連結BC．當S△AMC＝S△BOC時，求AC的長．

Answer 1

【答案】（1）2或8；（2）△ABO為直角三角形，理由見解析；（3）18

【解析】

（1）由于∠MCA＝∠BDO＝90°，所以△AMC和△BOD相似時分兩種情況：①△AMC∽△BOD；②△AMC∽△OBD．則兩種情況都可以根據相似三角形對應邊的比相等列出關于AC的方程，解方程即可求出AC的長度；

（2）先由MC∥BD，得出△AMC∽△ABD，根據相似三角形對應邊的比相等及三角形中位線的性質求出BD＝2MC＝8，OD＝4，CD＝8，AC＝CD＝8，再利用SAS證明△AMC≌△BOD，得到∠CAM＝∠DBO，根據平行線的性質及三角形內角和定理求出∠ABO＝90°，進而得出△ABO為直角三角形；

（3）設OD＝a，根據tan∠EOF＝2得出BD＝2a，由三角形的面積公式求出S△AMC＝2AC，S△BOC＝12a，根據S△AMC＝S△BOC，得到AC＝6a．由△AMC∽△ABD，根據相似三角形對應邊的比相等列出關于a的方程，解方程求出a的值，進而得出AC的長．

解：（1）∵∠MCA＝∠BDO＝90°，

∴△AMC和△BOD中，C與D是對應點，

∴△AMC和△BOD相似時分兩種情況：

①當△AMC∽△BOD時，＝＝2，

∵MC＝4，

∴＝2，

解得AC＝8；

②當△AMC∽△OBD時，＝＝2，

∵MC＝4，

∴＝2，

解得AC＝2．

故當AC的長度為2或8時，△AMC和△BOD相似；

（2）△ABO為直角三角形．理由如下：

∵MC∥BD，

∴△AMC∽△ABD，

∴＝＝，∠AMC＝∠ABD，

∵M為AB中點，

∴C為AD中點，BD＝2MC＝8．

∵BD：OD＝2：1，

∴OD＝4，

∴CD＝OC﹣OD＝8，

∴AC＝CD＝8．

在△AMC與△BOD中，

，

∴△AMC≌△BOD（SAS），

∴∠CAM＝∠DBO，

∴∠ABO＝∠ABD+∠DBO＝∠AMC+∠CAM＝90°，

∴△ABO為直角三角形；

（3）連結BC，設OD＝a，則BD＝2a．

∵S△AMC＝S△BOC，S△AMC＝ACMC＝2AC，S△BOC＝OCBD＝12a，

∴2AC＝12a，

∴AC＝6a．

∵△AMC∽△ABD，

∴＝，即＝，

解得a1＝3，a2＝﹣（舍去），

∴AC＝6×3＝18．