Question

設拋物線y=ax²+bx+c與X軸交于兩不同的點A（-1，0），B（m，0），（點A在點B的左邊），與y軸的交點為點C（0，-2），且∠ACB=90°．
（1）求m的值和該拋物線的解析式；
（2）若點D為該拋物線上的一點，且橫坐標為1，點E為過A點的直線y=x+1與該拋物線的另一交點．在X軸上是否存在點P，使得以P、B、D為頂點的三角形與△AEB相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）連接AC、BC，矩形FGHQ的一邊FG在線段AB上，頂點H、Q分別在線段AC、BC上，若設F點坐標為（t，0），矩形FGHQ的面積為S，當S取最大值時，連接FH并延長至點M，使HM=k•FH，若點M不在該拋物線上，求k的取值范圍．

Answer 1

（1）令x=0，得y=-2，
∴C（0，-2），
∵∠ACB=90°，CO⊥AB，
∴△AOC∽△COB，
∴OA•OB=OC²，
∴OB=

OC2

OA

=

22

1

=4，
∴m=4，
將A（-1，0），B（4，0）代入y=ax²+bx-2，
得

a= 1 2 b=- 3 2

，
∴拋物線的解析式為y=

1

2

x²-

3

2

x-2．

（2）D（1，n）代入y=

1

2

x²-

3

2

x-2，得n=-3，
可得

x1=-1 y1=0

（不合題意舍去），

x2=6 y2=7

，
∴E（6，7）．
過E作EH⊥x軸于H，則H（6，0），
∴AH=EH=7，
∴∠EAH=45°．
過D作DF⊥x軸于F，則F（1，0），
∴BF=DF=3，
∴∠DBF=45°，
∴∠EAH=∠DBF=45°，
∴∠DBH=135°，
90°＜∠EBA＜135°．
則點P只能在點B的左側，有以下兩種情況：
①若△DBP₁∽△EAB，則

BP1

AB

=

BD

AE

，
∴BP₁=

AE•BD

AB

=

5×3 2

7 2

=

15

7

，
∴OP₁=4-

15

7

=

13

7

，
∴P₁（

13

7

，0）．
②若△DBP₂∽△BAE，則

BP2

AE

=

BD

AB

，
∴BP₂=

AE•BD

AB

=

7 2 ×3 2

5

=

42

5

，
∴OP₂=

42

5

-4=

22

5

，
∴P₂（-

22

5

，0）．
綜合①、②，得點P的坐標為：P₁（

13

7

，0）或P₂（-

22

5

，0）．

（3）∵HQ∥AB
∴△CHQ∽△CAB
∴HQ：AB=CR：CO，
即：設HG=x，則

HQ

5

=

2-x

2

解得：HQ=-

5

2

x+5
∴矩形的面積S=HG•HQ=-

5

2

x²+5x
當x=-

5

2×(- 5 2 )

=1時，面積取得最大值．則H，R，Q的縱坐標是-1．
則HQ=-

5

2

×1+5=

5

2

設直線AC的解析式是y=kx+b
根據題意得：

-k+b=0 b=-2

，解得：

k=-2 b=-2

則AC的解析式是：y=-2x-2
在解析式中，令x=-1，解得：y=0
則H的坐標是（-

1

2

，-1）．F的坐標是（2，0）．則HF=

29

2

．
設直線FH的解析式是y=kx+b
根據題意得：

- 1 2 k+b=-1 2k+b=0

解得：

k= 2 5 b=- 4 5

，
則直線FH的解析式是y=

2

5

x-

4

5

．
解方程組：

y= 2 5 x- 4 5 y= 1 2 x2- 3 2 x-2

，
解得：x=

19± 601

10

．
當直線與拋物線相交時，k=

HM

FH

=

- 1 2 - 19- 601 10

5 2

=

601 -24

25

或

19+ 601 10 + 1 2

5 2

=

601 +24

25

．
則k的范圍是：k＞0且k≠

601 -24

25

且k≠

601 +24

25

．