Question

【題目】如圖,已知拋物線y=-x2+bx+c與y軸相交于點(diǎn)A(0,3),與x正半軸相交于點(diǎn)B,對稱軸是直線x=1.

(1)求此拋物線的解析式以及點(diǎn)B的坐標(biāo);

(2)動點(diǎn)M從點(diǎn)O出發(fā),以每秒2個單位長度的速度沿x軸正方向運(yùn)動,同時(shí)動點(diǎn)N從點(diǎn)O出發(fā),以每秒3個單位長度的速度沿y軸正方向運(yùn)動,當(dāng)N點(diǎn)到達(dá)A點(diǎn)時(shí),M,N同時(shí)停止運(yùn)動.過動點(diǎn)M作x軸的垂線交線段AB于點(diǎn)Q,交拋物線于點(diǎn)P,設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t秒,當(dāng)t為何值時(shí),四邊形OMPN為矩形.

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3，B點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0).（2）t的值為1.

【解析】

（1）根據(jù)對稱軸求出b的值，把A點(diǎn)坐標(biāo)代入求出c的值即可；（2）根據(jù)矩形性質(zhì)得ON=PM，列方程求出t的值即可.

(1)因?yàn)閽佄锞�y=-x2+bx+c對稱軸是直線x=1,

所以-=1,

解得b=2.

因?yàn)閽佄锞�過A(0,3),

所以c=3.

所以拋物線解析式為y=-x2+2x+3.

令y=0,得-x2+2x+3=0,

解得x1=-1,x2=3.

所以B點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0).

(2)由題意可知ON=3t,OM=2t,

因?yàn)?/span>P在拋物線上,

所以P(2t,-4t2+4t+3).

因?yàn)樗倪呅?/span>OMPN為矩形,

所以ON=PM.

所以3t=-4t2+4t+3.

解得t1=1或t2=-(不合題意,舍去),

所以當(dāng)t的值為1時(shí),四邊形OMPN為矩形.