Question

【題目】如圖，中，，為上一點，過三點的交于，過點作，交于點．

（1）若是中點，連結，求證：四邊形是平行四邊形

（2）連結，．當，且，，求線段的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2．

【解析】

(1) 連結CM，PB，DM，根據圓內接四邊形的性質得到∠BMP=90°，BP為⊙O的直徑，再證明MD為⊙O的直徑，最后證明PC∥MD，根據平行四邊形的判定定理即可得到；

(2) 連結BD，先證四邊形PDBM為矩形，再根據在Rt中，AC=4，tanA=即可求出答案；

解（1）連結CM，PB，DM，

∵∠C=90°，四邊形BCPM為圓內接四邊形，

∴∠C+∠BMP=180°

∴∠BMP=90°，BP為⊙O的直徑，

又PD∥AB，∴∠DPM=90°

∴MD為⊙O的直徑

∵∠C=90°，M為AB的中點

∴CM=BM

∴弧CM=弧BM，又MD為⊙O的直徑

∴DM垂直平分BC

∴PC∥MD，

∴四邊形APDM為平行四邊形（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形）；

（2）如圖，連結BD，CD

∵MD和BP均為⊙O的直徑，

∴∠DPM=∠PMB=∠PDB=90°

∴四邊形PDBM為矩形，

∴PM=BD

∵PM=PC

∴PC=BD，弧PC=弧BD

∴∠BPD=∠CDP（內錯角相等，兩直線平行），

∴BP∥CD

∴PD=BC

在Rt中，AC=4，tanA=，

∴BC=4tanA=2

∴PD=BC=2；