Question

【題目】如圖，點是雙曲線上的一個動點，連接并延長交雙曲線于點將線段繞點逆時針旋轉得到線段若點在雙曲線上運動，則_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

連結AC、OC，易證AO⊥OC，；由∠AOC=90°想到構造K型相似，過點A作AD⊥x軸，垂足為D，過點C作CE⊥x軸，垂足為E，可證△ADO∽△OEC．從而得到，；設點A坐標為，則，設點C坐標為，從而有，即．

解：∵雙曲線的圖象關于原點對稱，

∴點A與點B關于原點對稱，則OA=OB，

如圖，連結AC、OC，

∵將線段AB繞B逆時針旋轉60°得到線段BC，

∴△ABC是等邊三角形，，

∴OC⊥AB，△AOC為直角三角形，

∴，

∴

過點A作AD⊥x軸，垂足為D，過點C作CE⊥x軸，垂足為E，

∵，

∴，

則，

∴，

∴△ADO∽△OEC，

∴，

∵，

∴，，

設點A坐標為，

∵點A在第一象限，

∴，

∴，，

又∵點在雙曲線上，

∴，

設點C坐標為，

∵點C在第四象限，

∴，，

∴，

∴，

∵點在雙曲線上，

∴，

故答案為：．