Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與軸交于點拋物線的對稱軸是直線與軸的交點為點且經過點兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點為拋物線對稱軸上一動點，當的值最小時，請你求出點的坐標；

（3）拋物線上是否存在點，過點作軸于點使得以點為頂點的三角形與相似？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在；或或或

【解析】

（1）由直線可得B、C兩點的坐標，根據二次函數的對稱軸求得A點坐標，可設拋物線的解析式為，將C點坐標代入可求得a，即可得拋物線的解析式；

（2）根據絕對值的性質得出的值最小時，點為BC的垂直平分線與直線的交點，求得BC垂直平分線的解析式，聯立直線即可求得點；

（3）分四種情況進行討論，設出N的坐標，根據相似三角形的對應邊成比例的性質，求得N的橫坐標與縱坐標的關系，然后聯立拋物線解析式即可求解．

解：∵直線與軸交于點，與軸交于點，

∴當y=0時，即，解得：x=4，則點B的坐標為，

當x=0時，，則點C的坐標為，

由二次函數的對稱性可知：點與點關于直線對稱，

∴點A的坐標為，

∵拋物線與軸的交點為點，

∴可設拋物線的解析式為，

又∵拋物線過點，

∴，解得：，

∴

∴拋物線的解析式為；

（2）如圖1，連結CM、BM，作線段BC的垂直平分線分別交BC、直線于點，則N為BC中點；

由絕對值的性質可得：，

∴當的值最小時，即，則此時，

∴點M為與直線的交點，此時與重合，

設的解析式為：，

∵直線BC的解析式為：，

∴，解得：，則的解析式可化為：，

由得點N的坐標為，

將代入得：

，解得：，

∴，

將代入，得，即，

∴當的值最小時，點的坐標為，

（3）拋物線上存在點，使得以點為頂點的三角形與相似；

∵

∴，，，

∴，，

∵，

∴為直角三角形，，

∵軸，

∴，則，

如圖2所示，分四種情況，點的坐標分別為，設點的坐標為，

①當點在x軸的上方，要使，則，

則此時點與點C重合，則此時點與點O重合，

則，滿足題意，

∴此時點的坐標為；

②當點在x軸的上方，要使，則，

∴，即，代入拋物線的解析式得：

，化簡得：，

解得：，（不符合題意，故舍去），

將代入拋物線解析式得：，

∴此時點的坐標為；

③當點在x軸的下方，要使，則，

∴，即，代入拋物線的解析式得：

，化簡得：，

解得：，（不符合題意，故舍去），

將代入拋物線解析式得：，

∴此時點的坐標為；

④當點在x軸的下方，要使，則，

∴，即，代入拋物線的解析式得：

，化簡得：，

解得：，（不符合題意，故舍去），

將代入拋物線解析式得：，

∴此時點的坐標為；

綜上所述，拋物線存在點N的坐標為或或或使得以點為頂點的三角形與相似．